Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Conversión canónica


Las transformaciones canónicas son un concepto fundamental en el campo de la mecánica clásica, particularmente en el marco hamiltoniano. Proporcionan formas poderosas para simplificar problemas mecánicos complejos y aseguran que las transformaciones no cambien la forma de las ecuaciones de Hamilton. Esta preservación de la forma bajo transformación las hace particularmente valiosas para resolver problemas donde una solución directa puede no ser fácilmente evidente.

Introducción a la transformación canónica

En la mecánica clásica, a menudo tratamos con configuraciones de sistemas que evolucionan con el tiempo. Los formalismos lagrangiano y hamiltoniano proporcionan herramientas poderosas para analizar estas dinámicas. Mientras que el enfoque lagrangiano utiliza coordenadas y velocidades generalizadas, la formulación hamiltoniana utiliza coordenadas y momentos generalizados, lo que la hace adecuada para aplicar transformaciones canónicas.

Las transformaciones canónicas son transformaciones en la mecánica hamiltoniana que preservan la forma de las ecuaciones de Hamilton. En esencia, son una transformación de variables del viejo conjunto de coordenadas y sus momentos conjugados, denotados como (q, p), a un nuevo conjunto de variables, (Q, P), de tal manera que las nuevas coordenadas y momentos satisfacen el formalismo hamiltoniano de la misma manera que las antiguas.

Sistema hamiltoniano

Para entender las transformaciones canónicas, primero debemos revisar la formulación hamiltoniana. El hamiltoniano de un sistema se define como:

H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L

donde L es el lagrangiano, q_i son las coordenadas generalizadas, y p_i son los momentos conjugados definidos por:

p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)

Las ecuaciones de movimiento en un sistema hamiltoniano están dadas por las ecuaciones de Hamilton:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂h/∂q_i

Definición de transformación canónica

Una transformación de (q, p) a (Q, P) es canónica si preserva la forma de las ecuaciones de Hamilton. Más formalmente, preserva la estructura simpléctica del espacio de fase.

Matemáticamente, esto significa que si la transformación está dada por la siguiente función:

q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)

Entonces existe una función generadora que asocia la nueva variable (Q, P) con la antigua (q, p). Las funciones generadoras pueden ser de diferentes tipos y definen la transformación canónica.

Tipos de funciones generadoras

Hay cuatro tipos principales de funciones generadoras utilizadas en transformaciones canónicas, clasificadas según las variables de las que dependen:

  1. Función generadora del primer tipo, F₁(q, Q, t): Esta función depende de la antigua coordenada q y de la nueva coordenada Q.
  2. Segundo tipo de función generadora, F₂(q, P, t): depende de la antigua coordenada q y del nuevo momento P.
  3. Tercer tipo de función generadora, F₃(p, Q, t): Depende del antiguo momento p y de la nueva coordenada Q.
  4. Cuarto tipo de función generadora, F₄(p, P, t): Depende de los viejos y nuevos momentos p y P respectivamente.

Expresiones para generar funciones

Veamos las expresiones para cada una de estas funciones generadoras y cómo combinan las variables antiguas y nuevas:

  1. F₁(q, Q, t):
     p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t
  2. F₂(q, P, t):
     p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t
  3. F₃(p, q, t):
     q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t
  4. F₄(p, p, t):
     q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t

En cada caso, K es el nuevo Hamiltoniano expresado en términos de las nuevas variables canónicas. Si ∂F/∂t = 0, entonces la transformación se llama independiente del tiempo.

Ejemplo de transformación canónica

Consideremos un ejemplo simple para mostrar cómo funcionan las transformaciones canónicas. Considere un sistema unidimensional donde el Hamiltoniano es:

h(q, p) = (p²/2m) + v(q)

Queremos realizar la transformación canónica a nuevas variables (Q, P) usando una función generadora del segundo tipo:

F₂(q, P, t) = q * P

Utilizando las relaciones dadas para F₂(q, P, t), tenemos:

P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q

Así, la transformación es simple:

q = q P = P

Este es un ejemplo trivial donde la transformación es esencialmente la transformación de identidad. Sin embargo, muestra cómo cambian las variables bajo la transformación y podemos encontrar el nuevo Hamiltoniano si es necesario.

Ejemplos más complejos

Consideremos un oscilador armónico con el Hamiltoniano:

h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²

Supongamos que queremos realizar una transformación canónica usando una función generadora:

F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)

Esto nos da nuevas variables:

P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)

Este ejemplo demuestra cómo las transformaciones canónicas pueden volverse más complejas y requerir una manipulación cuidadosa para lograr la simplificación deseada o el beneficio para resolver problemas.

Aplicaciones de la transformación canónica

Las transformaciones canónicas son increíblemente útiles en varias áreas avanzadas de la física teórica y la mecánica clásica:

  • Simplificación de cálculos: Al realizar cambios en un conjunto de variables donde las interacciones complejas se simplifican, los cálculos pueden simplificarse en gran medida. Por ejemplo, las variables de acción-ángulo utilizadas en la resolución de sistemas periódicos utilizan transformaciones canónicas.
  • Identificación de constantes de movimiento: Una elección hábil de funciones generadoras y transformaciones canónicas puede revelar cantidades conservadas en el sistema, ayudando a resolver las ecuaciones.
  • Transformaciones en mecánica cuántica: Para muchos sistemas mecánicos cuánticos, el fondo clásico está representado en el espacio de fase, donde las transformaciones canónicas ayudan a entender las conversiones entre diferentes cuadros o bases.

Representación visual de las transformaciones canónicas

A continuación, se muestra una ilustración que muestra la transformación del antiguo conjunto de variables (q, p) al nuevo conjunto (Q, P). Tenga en cuenta que cada transformación conservará la estructura simpléctica subyacente del espacio de fase al pasar entre estos sistemas de coordenadas.

P P (q, p) (Q, P) Transformaciones canónicas

El bloque izquierdo muestra el sistema original en términos de las variables (q, p), mientras que el bloque derecho muestra el mismo sistema representado en las coordenadas transformadas (Q, P). Las flechas indican la dirección de la transformación canónica.

Resumen

Las transformaciones canónicas son importantes en la mecánica hamiltoniana porque preservan la estructura de las ecuaciones de Hamilton. Al usar diferentes funciones generadoras, estas transformaciones pueden adaptarse para adaptarse a diferentes problemas físicos. Optimicen los cálculos, llevan a interacciones simplificadas y a menudo revelan leyes de conservación, haciéndolas importantes en estudios tanto de mecánica clásica como cuántica.

En última instancia, comprender y utilizar transformaciones canónicas permite a científicos e ingenieros abordar sistemas físicos complejos y proporciona una comprensión más profunda de su comportamiento y evolución.


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