कैनोनिकल परिवर्तन

कैनोनिकल परिवर्तन क्लासिकल यांत्रिकी के क्षेत्र में एक बुनियादी अवधारणा है, विशेष रूप से हैमिल्टोनियन फ्रेमवर्क में। ये जटिल यांत्रिक समस्याओं को सरल बनाने और यह सुनिश्चित करने के शक्तिशाली तरीके प्रदान करते हैं कि परिवर्तन हैमिल्टोनियन समीकरणों का रूप नहीं बदलते हैं। परिवर्तन के तहत रूप की इस सुरक्षित रखने की क्षमता उन्हें विशेष रूप से उन समस्याओं को हल करने के लिए मूल्यवान बनाती है जहां एक प्रत्यक्ष समाधान तुरंत स्पष्ट नहीं हो सकता है।

कैनोनिकल परिवर्तन का परिचय

क्लासिकल यांत्रिकी में, हम अक्सर ऐसी सिस्टमों के विन्यासों से निपटते हैं जो समय के साथ विकसित होते हैं। लैग्रेंजियन और हैमिल्टोनियन औपचारिकताओं के माध्यम से इन गतिकीयों का विश्लेषण करने के लिए शक्तिशाली उपकरण प्रदान करते हैं। जबकि लैग्रेंजियन दृष्टिकोण सामान्यीकृत निर्देशांक और वेगों का उपयोग करता है, हैमिल्टोनियन सूत्रीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक और संवेगों का उपयोग करता है, जिससे यह कैनोनिकल परिवर्तनों को लागू करने के लिए उपयुक्त बनता है।

कैनोनिकल परिवर्तन हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में ऐसे परिवर्तन होते हैं जो हैमिल्टन के समीकरणों का रूप सुरक्षित रखते हैं। मूलतः, ये पुराने सेट के निर्देशांक और उनके अभिशासित संवेग, जैसे (q, p), से नए सेट के वेरिएबल्स, (Q, P), में परिवर्तन होते हैं, इस तरीके से कि नए निर्देशांक और संवेग पुराने लोगों की तरह ही हैमिल्टोनियन औपचारिकता को संतुष्ट करते हैं।

हैमिल्टोनियन प्रणाली

कैनोनिकल परिवर्तन को समझने के लिए, हमें पहले हैमिल्टोनियन सूत्रीकरण को पुनः विजिट करना होगा। एक प्रणाली का हैमिल्टोनियन इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L

जहां L लैग्रेंजियन है, q_i सामान्यीकृत निर्देशांक हैं, और p_i conjugate संवेग हैं जो निम्नलिखित द्वारा परिभाषित होते हैं:

p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)

हैमिल्टोनियन प्रणाली में गति के समीकरणों को हैमिल्टोनियन समीकरण द्वारा दिया गया है:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂h/∂q_i

कैनोनिकल परिवर्तन की परिभाषा

(q, p) से (Q, P) में कोई परिवर्तन कैनोनिकल होता है यदि यह हैमिल्टन के समीकरणों के रूप को सुरक्षित रखता है। अधिक औपचारिक रूप से, यह चरण स्थान की सिम्पलेक्टिक संरचना को सुरक्षित रखता है।

गणितीय रूप से, इसका अर्थ है कि यदि परिवर्तन निम्नलिखित फलन द्वारा दिया जाता है:

q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)

तो एक जनरेटिंग फ़ंक्शन होता है जो नए वेरिएबल (Q, P) को पुराने वाले (q, p) के साथ जोड़ता है। जनरेटिंग फ़ंक्शन के विभिन्न प्रकार हो सकते हैं, और वे कैनोनिकल परिवर्तन को परिभाषित करते हैं।

जनरेटिंग फ़ंक्शन के प्रकार

कैनोनिकल परिवर्तनों में उपयोग किए जाने वाले चार प्रमुख प्रकार के जनरेटिंग फ़ंक्शन होते हैं, जो उनके आधार पर निर्भर वेरिएबल्स के आधार पर वर्गीकृत होते हैं:

1. पहले प्रकार का जनरेटिंग फ़ंक्शन, F₁(q, Q, t): यह फ़ंक्शन पुराने निर्देशांक q और नए निर्देशांक Q पर निर्भर करता है।
2. दूसरे प्रकार का जनरेटिंग फ़ंक्शन, F₂(q, P, t): यह पुराने निर्देशांक q और नए संवेग P पर निर्भर करता है।
3. तीसरे प्रकार का जनरेटिंग फ़ंक्शन, F₃(p, Q, t): यह पुराने संवेग p और नए निर्देशांक Q पर निर्भर करता है।
4. चौथे प्रकार का जनरेटिंग फ़ंक्शन, F₄(p, P, t): यह पुराने और नए संवेग p और P पर क्रमशः निर्भर करता है।

जनरेटिंग फंक्शन बनाने के लिए अभिव्यक्तियाँ

आइए देखें कि इन जनरेटिंग फंक्शन की प्रत्येक के लिए अभिव्यक्तियाँ क्या हैं और वे पुराने और नए वेरिएबल्स को कैसे मिलाते हैं:

1. F₁(q, Q, t):

    p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t 

2. F₂(q, P, t):

    p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t 

3. F₃(p, q, t):

    q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t 

4. F₄(p, p, t):

    q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t 

हर मामले में, K नए कैनोनिकल वेरिएबल्स की शर्तों में नया हैमिल्टोनियन होता है। अगर ∂F/∂t = 0, तो उस परिवर्तन को समय-स्वतंत्र कहा जाता है।

कैनोनिकल परिवर्तन का उदाहरण

चलो एक सरल उदाहरण को लेते हैं कि कैसे कैनोनिकल परिवर्तन कार्य करते हैं। मान लें कि एक एक-आयामी प्रणाली है जहां हैमिल्टोनियन होता है:

h(q, p) = (p²/2m) + v(q)

हम एक जनरेटिंग फ़ंक्शन के दूसरे प्रकार का उपयोग करते हुए नए वेरिएबल्स (Q, P) में कैनोनिकल परिवर्तन करना चाहते हैं:

F₂(q, P, t) = q * P

दिए गए संबंधों का उपयोग करते हुए F₂(q, P, t) के लिए, हम पाते हैं:

P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q

इस प्रकार, परिवर्तन सरल है:

q = q P = P

यह एक सरल उदाहरण है जहां परिवर्तन मूलतः पहचान परिवर्तन है। हालांकि, यह दर्शाता है कि कैसे वेरिएबल्स परिवर्तन के तहत बदलते हैं, और आवश्यक होने पर हम नया हैमिल्टोनियन भी पा सकते हैं।

अधिक जटिल उदाहरण

एक हार्मोनिक ओस्सिलेटर को लें जिसमें हैमिल्टोनियन है:

h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²

मान लें कि हम एक जनरेटिंग फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए कैनोनिकल परिवर्तन करना चाहते हैं:

F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)

यह हमें नए वेरिएबल्स देता है:

P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)

यह उदाहरण दिखाता है कि कैसे कैनोनिकल परिवर्तन अधिक जटिल हो सकते हैं और सावधानीपूर्वक प्रबंधन की आवश्यकता होती है ताकि वांछित सरलीकरण या समस्या-समाधान लाभ प्राप्त हो सके।

कैनोनिकल परिवर्तन के अनुप्रयोग

कैनोनिकल परिवर्तन विभिन्न उन्नत क्षेत्रों में विशेष रूप से सैद्धांतिक भौतिकी और क्लासिकल यांत्रिकी में महत्वपूर्ण हैं:

• गणनाओं को सरल बनाना: एक वेरिएबल्स के सेट में परिवर्तन करके जहां जटिल इंटरैक्शन को सरल बनाया जाता है, गणनाएँ बहुत हद तक सरल हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, कार्रवाई-कोण वेरिएबल्स का उपयोग आवर्ती प्रणाली को हल करने में किया जाता है जो कैनोनिकल परिवर्तन का उपयोग करते हैं।
• गति के स्थिरांक की पहचान: जनरेटिंग फ़ंक्शन और कैनोनिकल परिवर्तन का कुशल चयन प्रणाली में संरक्षित मात्रा का संकेत दे सकता है, जिससे समीकरणों को हल करने में सहायता मिलती है।
• क्वांटम यांत्रिकी परिवर्तन: कई क्वांटम यांत्रिकी प्रणालियों के लिए क्लासिकल पृष्ठभूमि चरण स्थान में प्रतिनिधित्व की जाती है, जहां कैनोनिकल परिवर्तन विभिन्न चित्रों या आधारों के बीच रूपांतरण को समझने में सहायता करते हैं।

कैनोनिकल परिवर्तन का दृश्य प्रतिनिधित्व

नीचे एक चित्रण है जो पुराने वेरिएबल सेट (q, p) से नए सेट (Q, P) में परिवर्तन को दिखाता है। ध्यान दें कि प्रत्येक परिवर्तन इन निर्देशांक प्रणालियों के बीच संक्रमण करते समय चरण स्थान की अंतर्निहित सिम्पलेक्टिक संरचना को सुरक्षित रखेगा।

बाईं ओर का ब्लॉक पुराने सिस्टम को वेरिएबल्स (q, p) के संदर्भ में दिखाता है, जबकि दाईं ओर का ब्लॉक बदल गए निर्देशांक (Q, P) में सिस्टम को दर्शाता है। तीर कैनोनिकल परिवर्तन की दिशा का संकेत देते हैं।

सारांश

कैनोनिकल परिवर्तन हैमिल्टोनियन यांत्रिकी में महत्वपूर्ण होते हैं क्योंकि वे हैमिल्टन के समीकरणों की संरचना को संरक्षित रखते हैं। विभिन्न जनरेटिंग फ़ंक्शनों का उपयोग करके, इन परिवर्तनों को विभिन्न भौतिकी समस्याओं के अनुकूल बनाने के लिए संशोधित किया जा सकता है। वे गणनाओं को सरल बनाते हैं, सरलीकृत इंटरैक्शन की ओर ले जाते हैं, और अक्सर संरक्षण कानून प्रकट करते हैं, जिससे वे क्लासिकल और क्वांटम यांत्रिकी दोनों अध्ययन में महत्वपूर्ण होते हैं।

अंततः, कैनोनिकल परिवर्तन को समझना और उनका उपयोग करना वैज्ञानिकों और इंजीनियरों को जटिल भौतिक प्रणालियों से निपटने में सक्षम बनाता है और उनके व्यवहार और विकास के बारे में गहरा अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

टिप्पणियाँ