標準変換

標準変換はクラシカル力学の基本概念であり、特にハミルトン形式において重要です。これらは複雑な力学問題を簡素化し、変換がハミルトン方程式の形式を変更しないようにする強力な方法を提供します。この変換における形式の保持は、直接の解が容易に得られない場合の問題解決に特に価値があります。

標準変換の導入

古典力学では、時間とともに進化する系の構成に向き合うことが多いです。ラグランジアンとハミルトンの形式は、これらの動力学を分析するための強力なツールを提供します。ラグランジアンアプローチは一般化座標と速度を使用するのに対し、ハミルトンの形式は一般化座標と運動量を使用し、標準変換の適用に適しています。

標準変換は、ハミルトン力学における変換であり、ハミルトン方程式の形式を保持します。要するに、古い座標とその共役運動量で表される変数セット (q, p) から、新しい変数セット (Q, P) への変換を行い、新しい座標と運動量が旧来のものと同じ方法でハミルトンの形式を満たすようにします。

ハミルトンシステム

標準変換を理解するためには、まずハミルトン形式を見直す必要があります。系のハミルトニアンは以下のように定義されます:

H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L

ここで L はラグランジアン、q_i は一般化座標、p_i は共役運動量であり、以下で定義されます:

p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)

ハミルトン系の運動方程式はハミルトン方程式で与えられます:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂H/∂q_i

標準変換の定義

(q, p) から (Q, P) への変換は、ハミルトン方程式の形式を保持する限り、標準と呼ばれます。より正式に言えば、位相空間のシンプレクティック構造を保持します。

数学的には、変換が次の関数によって与えられる場合を意味します:

q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)

この場合、生成関数が存在し、新しい変数(Q, P) と古い変数 (q, p) を関連付けます。生成関数はさまざまな型があり、標準変換を定義します。

生成関数の種類

標準変換で使用される生成関数には、依存する変数に基づいて4つの主要な種類があります:

1. 第1種生成関数, F₁(q, Q, t): この関数は、古い座標 q と新しい座標 Q に依存します。
2. 第2種生成関数, F₂(q, P, t): 古い座標 q と新しい運動量 P に依存します。
3. 第3種生成関数, F₃(p, Q, t): 古い運動量 p と新しい座標 Q に依存します。
4. 第4種生成関数, F₄(p, P, t): 古い運動量 p と新しい運動量 P にそれぞれ依存します。

生成関数の表現式

これらの生成関数ごとの表現式を見て、古い変数と新しい変数をどのように組み合わせるかを確認します:

1. F₁(q, Q, t):

    p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t 

2. F₂(q, P, t):

    p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t 

3. F₃(p, Q, t):

    q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t 

4. F₄(p, P, t):

    q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t 

各場合において、K は新しい正準変数に関して表現された新ハミルトニアンです。∂F/∂t = 0 の場合、変換は時間非依存と呼ばれます。

標準変換の例

標準変換がどのように機能するかを示す簡単な例を考えましょう。1次元系のハミルトニアンが次のようであるとします:

h(q, p) = (p²/2m) + v(q)

第2種生成関数を使用して新しい変数(Q, P) に標準変換を行いたいと思います:

F₂(q, P, t) = q * P

F₂(q, P, t) の関係を使用すると、次のようになります:

P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q

したがって、変換は単純です:

q = q P = P

これは変換が本質的に恒等変換となる自明な例です。しかし、変数が変換によってどのように変わるかを示し、必要に応じて新しいハミルトニアンを見つけることができます。

より複雑な例

ハミルトニアンが次のような調和振動子を考慮します:

h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²

生成関数を用いて標準変換を行いたいとします:

F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)

これにより新しい変数が得られます:

P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)

この例は、標準変換がより複雑になり、必要な単純化や問題解決の利点を得るために慎重な操作が必要となることを示しています。

標準変換の用法

標準変換は、理論物理学や古典力学の様々な高度な分野で非常に有用です:

• 計算の単純化: 複雑な相互作用が単純化されるような変数のセットへの変更を行うことで、計算が大幅に単純化されることがあります。例えば、周期システムを解くために使用されるアクション-アングル変数は 標準変換を使用します。
• 運動の基本定数の同定: 生成関数と標準変換の巧妙な選択によって、系の保存量が明らかになり、方程式の解決に役立ちます。
• 量子力学の変換: 多くの量子力学系では、古典的背景が位相空間で表現され、異なる図や基底間の変換を理解するのに 標準変換が役立ちます。

標準変換の視覚表現

以下の図は、古い変数セット (q, p) から新しいセット (Q, P) への変換を示しています。これらのコーディネートシステム間で移行する際には、変換が位相空間の基礎的なシンプレクティック構造を保持することを示しています。

左のブロックは変数 (q, p) で表された元のシステムを示し、右のブロックは変換された座標 (Q, P) で表された同じシステムを示します。矢印は標準変換の方向を示しています。

まとめ

標準変換は、ハミルトン力学においてハミルトン方程式の構造を保持するため、重要です。さまざまな生成関数を使用することで、これらの変換はさまざまな物理問題に適応することができます。計算の簡素化、相互作用の単純化、保存則の明示など、多くの利点を提供し、古典力学と量子力学の両方の研究において重要です。

最終的に、標準変換を理解し活用することは、科学者やエンジニアが複雑な物理システムに取り組み、その挙動や進化についてより深い洞察を得ることを可能にします。

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