Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Conversão canônica


Transformações canônicas são um conceito fundamental no campo da mecânica clássica, particularmente no quadro Hamiltoniano. Elas fornecem maneiras poderosas de simplificar problemas mecânicos complexos e garantir que as transformações não alterem a forma das equações Hamiltonianas. Essa preservação da forma sob transformação as torna particularmente valiosas para resolver problemas onde uma solução direta pode não ser prontamente aparente.

Introdução à transformação canônica

Na mecânica clássica, lidamos frequentemente com configurações de sistemas que evoluem ao longo do tempo. Os formalismos Lagrangiano e Hamiltoniano fornecem ferramentas poderosas para analisar essas dinâmicas. Enquanto a abordagem Lagrangiana usa coordenadas e velocidades generalizadas, a formulação Hamiltoniana usa coordenadas e momentos generalizados, tornando-a adequada para aplicar transformações canônicas.

Transformações canônicas são transformações na mecânica Hamiltoniana que preservam a forma das equações de Hamilton. Essencialmente, elas são uma transformação de variáveis do antigo conjunto de coordenadas e seus momentos conjugados, denotados como (q, p), para um novo conjunto de variáveis, (Q, P), de tal forma que as novas coordenadas e momentos satisfazem o formalismo Hamiltoniano da mesma maneira que os antigos.

Sistema Hamiltoniano

Para entender transformações canônicas, primeiro devemos revisitar a formulação Hamiltoniana. O Hamiltoniano de um sistema é definido como:

H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L

onde L é o Lagrangiano, q_i são as coordenadas generalizadas e p_i são os momentos conjugados definidos por:

p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)

As equações de movimento em um sistema Hamiltoniano são dadas pelas equações de Hamilton:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂h/∂q_i

Definição de transformação canônica

Uma transformação de (q, p) para (Q, P) é canônica se preserva a forma das equações de Hamilton. Mais formalmente, ela preserva a estrutura simplética do espaço de fase.

Matematicamente, isso significa que, se a transformação é dada pela seguinte função:

q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)

Então, existe uma função geradora que associa a nova variável (Q, P) com a antiga (q, p). Funções geradoras podem ser de diferentes tipos e definem a transformação canônica.

Tipos de funções geradoras

Existem quatro principais tipos de funções geradoras usadas em transformações canônicas, classificadas com base nas variáveis de que dependem:

  1. Função geradora do primeiro tipo, F₁(q, Q, t): Essa função depende da antiga coordenada q e da nova coordenada Q.
  2. Segundo tipo de função geradora, F₂(q, P, t): ela depende da antiga coordenada q e do novo momento P.
  3. Terceiro tipo de função geradora, F₃(p, Q, t): Ela depende do antigo momento p e da nova coordenada Q.
  4. Quarto tipo de função geradora, F₄(p, P, t): Ela depende dos momentos antigo e novo p e P respectivamente.

Expressões para gerar funções

Vejamos as expressões para cada uma dessas funções geradoras e como eles combinam as variáveis antigas e novas:

  1. F₁(q, Q, t):
     p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t
  2. F₂(q, P, t):
     p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t
  3. F₃(p, q, t):
     q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t
  4. F₄(p, p, t):
     q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t

Em cada caso, K é o novo Hamiltoniano expresso em termos das novas variáveis canônicas. Se ∂F/∂t = 0, então a transformação é chamada de independente do tempo.

Exemplo de transformação canônica

Vamos considerar um exemplo simples para mostrar como funcionam as transformações canônicas. Considere um sistema unidimensional onde o Hamiltoniano é:

h(q, p) = (p²/2m) + v(q)

Queremos realizar a transformação canônica em novas variáveis (Q, P) usando uma função geradora do segundo tipo:

F₂(q, P, t) = q * P

Usando as relações dadas para F₂(q, P, t), temos:

P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q

Assim, a transformação é simples:

q = q P = P

Este é um exemplo trivial onde a transformação é essencialmente a transformação de identidade. No entanto, mostra como as variáveis mudam sob a transformação, e podemos encontrar o novo Hamiltoniano, se necessário.

Exemplos mais complexos

Considere um oscilador harmônico com o Hamiltoniano:

h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²

Suponha que queremos realizar uma transformação canônica usando uma função geradora:

F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)

Isso nos fornece novas variáveis:

P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)

Este exemplo demonstra como as transformações canônicas podem se tornar mais complexas e exigir manipulação cuidadosa para alcançar a simplificação desejada ou o benefício de resolução de problemas.

Aplicações da transformação canônica

Transformações canônicas são incrivelmente úteis em várias áreas avançadas da física teórica e mecânica clássica:

  • Simplificação de cálculos: Ao fazer mudanças em um conjunto de variáveis onde interações complexas são simplificadas, os cálculos podem ser grandemente simplificados. Por exemplo, as variáveis ação-ângulo usadas para resolver sistemas periódicos usam transformações canônicas.
  • Identificação de constantes de movimento: Uma escolha hábil de funções geradoras e transformações canônicas pode revelar quantidades conservadas no sistema, ajudando a resolver as equações.
  • Transformações na mecânica quântica: Para muitos sistemas mecânicos quânticos, o pano de fundo clássico é representado no espaço de fase, onde transformações canônicas ajudam a entender conversões entre diferentes imagens ou bases.

Representação visual de transformações canônicas

Abaixo está uma ilustração mostrando a transformação do antigo conjunto de variáveis (q, p) para o novo conjunto (Q, P). Note que cada transformação preservará a estrutura simplética subjacente do espaço de fase ao transitar entre esses sistemas de coordenadas.

P P (q, p) (Q, P) Transformações canônicas

O bloco à esquerda mostra o sistema original em termos das variáveis (q, p), enquanto o bloco à direita mostra o mesmo sistema representado nas coordenadas transformadas (Q, P). As setas indicam a direção da transformação canônica.

Resumo

Transformações canônicas são importantes na mecânica Hamiltoniana porque preservam a estrutura das equações de Hamilton. Usando diferentes funções geradoras, essas transformações podem ser adaptadas para diferentes problemas de física. Elas racionalizam cálculos, levam a interações simplificadas e frequentemente revelam leis de conservação, tornando-as importantes nos estudos de mecânica clássica e quântica.

Em última análise, entender e usar transformações canônicas permite que cientistas e engenheiros enfrentem sistemas físicos complexos e forneçam insights mais profundos sobre seu comportamento e evolução.


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