Каноническое преобразование

Канонические преобразования - это фундаментальная концепция в области классической механики, особенно в рамках гамильтоновой механики. Они предоставляют мощные способы упростить сложные механические задачи и гарантировать, что преобразования не изменяют форму гамильтоновых уравнений. Это сохранение формы при преобразовании делает их особенно ценными для решения задач, где прямое решение может быть неочевидным.

Введение в каноническое преобразование

В классической механике мы часто имеем дело с конфигурациями систем, которые эволюционируют со временем. Лагранжевый и гамильтонов формализмы предоставляют мощные инструменты для анализа этой динамики. В то время как лагранжевый подход использует обобщенные координаты и скорости, гамильтонов подход использует обобщенные координаты и импульсы, что делает его подходящим для применения канонических преобразований.

Канонические преобразования - это преобразования в гамильтоновой механике, которые сохраняют форму уравнений Гамильтона. По сути, это преобразование переменных от старого набора координат и их сопряженных импульсов, обозначаемых как (q, p), к новому набору переменных (Q, P) таким образом, что новые координаты и импульсы удовлетворяют гамильтоновым уравнениям так же, как и старые.

Гамильтоновая система

Чтобы понять канонические преобразования, мы должны сначала вспомнить гамильтонов формализм. Гамильтониан системы определяется как:

H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L

где L - это лагранжиан, q_i - обобщенные координаты, а p_i - сопряженные импульсы, определяемые как:

p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)

Уравнения движения в гамильтоновой системе даются гамильтоновыми уравнениями:

dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂h/∂q_i

Определение канонического преобразования

Преобразование от (q, p) к (Q, P) является каноническим, если оно сохраняет форму уравнений Гамильтона. Более формально, оно сохраняет симплектическую структуру фазового пространства.

Математически это значит, что если преобразование задается следующей функцией:

q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)

То существует порождающая функция, которая связывает новую переменную (Q, P) со старой (q, p). Порождающие функции могут быть разных типов, и они определяют каноническое преобразование.

Типы порождающих функций

Существует четыре основных типа порождающих функций, используемых в канонических преобразованиях, классифицируясь по переменным, от которых они зависят:

1. Первая порождающая функция, F₁(q, Q, t): Эта функция зависит от старой координаты q и новой координаты Q.
2. Вторая порождающая функция, F₂(q, P, t): Она зависит от старой координаты q и нового импульса P.
3. Третья порождающая функция, F₃(p, Q, t): Зависит от старого импульса p и новой координаты Q.
4. Четвертая порождающая функция, F₄(p, P, t): Она зависит от старого и нового импульса p и P соответственно.

Выражения для создания функций

Давайте посмотрим на выражения для каждой из этих порождающих функций и как они комбинируют старые и новые переменные:

1. F₁(q, Q, t):

    p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t 

2. F₂(q, P, t):

    p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t 

3. F₃(p, q, t):

    q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t 

4. F₄(p, p, t):

    q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t 

В каждом случае K - это новый гамильтониан, выраженный в терминах новых канонических переменных. Если ∂F/∂t = 0, то преобразование называется независящим от времени.

Пример канонического преобразования

Рассмотрим простой пример, чтобы показать, как работают канонические преобразования. Рассмотрим одномерную систему, где гамильтониан:

h(q, p) = (p²/2m) + v(q)

Мы хотим выполнить каноническое преобразование в новые переменные (Q, P) с помощью порождающей функции второго рода:

F₂(q, P, t) = q * P

Согласно отношениям, данным для F₂(q, P, t), мы имеем:

P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q

Таким образом, преобразование простое:

q = q P = P

Это тривиальный пример, в котором преобразование по сути является тождественным преобразованием. Однако он показывает, как переменные изменяются при преобразовании, и мы можем найти новый гамильтониан, если необходимо.

Более сложные примеры

Рассмотрим гармонический осциллятор с гамильтонианом:

h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²

Предположим, мы хотим выполнить каноническое преобразование с использованием порождающей функции:

F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)

Это дает нам новые переменные:

P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)

Этот пример демонстрирует, как канонические преобразования могут становиться более сложными и требовать тщательной манипуляции для достижения необходимого упрощения или выгоды в решении задачи.

Применение канонических преобразований

Канонические преобразования чрезвычайно полезны в различных продвинутых областях теоретической физики и классической механики:

• Упрощение расчетов: Путем изменения набора переменных, где сложные взаимодействия упрощаются, расчеты могут быть значительно упрощены. Например, переменные действия-угла, используемые для решения периодических систем, используют канонические преобразования.
• Определение постоянных движения: Умелый выбор порождающих функций и канонических преобразований может выявить сохраняемые величины в системе, помогая решить уравнения.
• Квантовомеханические преобразования: Для многих квантовомеханических систем классический фон представлен в фазовом пространстве, где канонические преобразования помогают понять переходы между различными картинами или базисами.

Визуальное представление канонических преобразований

Ниже приведена иллюстрация, показывающая преобразование от старого набора переменных (q, p) к новому набору (Q, P). Обратите внимание, что каждое преобразование будет сохранять основную симплектическую структуру фазового пространства при переходе между этими системами координат.

Левая часть показывает оригинальную систему в терминах переменных (q, p), в то время как правая часть показывает ту же систему, представленную в преобразованных координатах (Q, P). Стрелки указывают направление канонического преобразования.

Резюме

Канонические преобразования важны в хамильтоновой механике, поскольку они сохраняют структуру уравнений Гамильтона. Используя разные порождающие функции, эти преобразования можно адаптировать для разных физических задач. Они упрощают расчеты, приводят к упрощенным взаимодействиям и часто выявляют законы сохранения, что делает их важными как в классической, так и в квантовой механике.

В конечном счете, понимание и использование канонических преобразований позволяет ученым и инженерам решать сложные физические системы, а также обеспечивает более глубокое понимание их поведения и эволюции.

Комментарии