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规范变换
规范变换是经典力学领域的一个基本概念，尤其在哈密顿框架中。它们提供了简化复杂机械问题的强大方法，确保变换不会改变哈密顿方程的形式。这种在变换下形式的保持使得它们在解决那些直接解决可能不太显而易见的问题时尤为有价值。
规范变换介绍
在经典力学中，我们经常处理随时间演化的系统配置。拉格朗日和哈密顿形式主义提供了分析这些动力学的强大工具。拉格朗日方法使用广义坐标和速度，而哈密顿形式使用广义坐标和动量，使得它适用于应用规范变换。
规范变换是哈密顿力学中的变换，保持哈密顿方程的形式。本质上，它们是从旧的坐标及其共轭动量集合(q, p)到新的变量集合(Q, P)的变量变换，方式是新的坐标和动量以与旧的相同的方式满足哈密顿形式主义。
哈密顿系统
为了理解规范变换，我们必须先回顾一下哈密顿形式。一个系统的哈密顿定义为：
H = ∑(p_i * dq_i/dt) – L
其中L是拉格朗日，q_i是广义坐标，p_i是通过下面公式定义的共轭动量：
p_i = ∂L/∂(dq_i/dt)
哈密顿系统的运动方程由哈密顿方程提供：
dq_i/dt = ∂H/∂p_i dp_i/dt = -∂h/∂q_i
规范变换的定义
从(q, p)到(Q, P)的变换是规范变换，如果它保持哈密顿方程的形式。更正式地说，它保持相空间的辛结构。
从数学上讲，这意味着如果变换由以下函数提供：
q = q(q, p, t) P = P(q, p, t)
那么存在一个生成函数，将新变量(Q, P)与旧的变量(q, p)关联。生成函数可以是不同的类型，它们定义了规范变换。
生成函数的类型
在规范变换中，主要有四种生成函数类型，基于它们所依赖的变量进行分类：
- 第一类生成函数，F₁(q, Q, t)：这个函数依赖于旧的坐标q和新的坐标Q。
- 第二类生成函数，F₂(q, P, t)：它依赖于旧的坐标q和新的动量P。
- 第三类生成函数，F₃(p, Q, t)：它依赖于旧的动量p和新的坐标Q。
- 第四类生成函数，F₄(p, P, t)：它分别依赖于旧的和新的动量p和P。
生成函数的表达
让我们看看这些生成函数的表达式，以及它们如何结合旧的和新的变量：
- F₁(q, Q, t)：
p_i = ∂F₁/∂q_i P_i = -∂F₁/∂Q_i k = h + ∂F₁/∂t
- F₂(q, P, t)：
p_i = ∂F₂/∂q_i Q_i = ∂F₂/∂P_i k = h + ∂F₂/∂t
- F₃(p, q, t)：
q_i = -∂F₃/∂p_i P_i = -∂F₃/∂Q_i k = h + ∂F₃/∂t
- F₄(p, p, t)：
q_i = -∂F₄/∂p_i Q_i = ∂F₄/∂P_i k = h + ∂F₄/∂t
在每种情况下，K都是用新规范变量表达的新的哈密顿。如果∂F/∂t = 0，则变换被称为时不变的。
规范变换的例子
让我们考虑一个简单的例子来展示规范变换如何工作。考虑一个一维系统，其哈密顿为：
h(q, p) = (p²/2m) + v(q)
我们希望通过第二类生成函数将规范变换为新的变量(Q, P)：
F₂(q, P, t) = q * P
使用给定的F₂(q, P, t)关系，我们有：
P = ∂F₂/∂q = P q = ∂F₂/∂P = q
因此，变换很简单：
q = q P = P
这是一个平凡的例子，其中变换本质上是身份变换。然而，它展示了变量在变换下如何变化，并且如果需要，我们可以找到新的哈密顿。
更复杂的例子
考虑一个谐振子的哈密顿：
h(q, p) = (p²/2m) + (1/2)mω²q²
假设我们希望使用生成函数进行规范变换：
F₂(q, P) = mωq²/2 * cot(P)
这给我们新的变量：
P = ∂F₂/∂q = mωq * cot(P) Q = ∂F₂/∂P = -mωq²/2 * csc²(P)
这个例子展示了规范变换如何变得更加复杂以及需要仔细操作以实现所需的简化或问题解决益处。
规范变换的应用
规范变换在理论物理和经典力学的各个高级领域非常有用：
- 简化计算：通过改变一组复杂相互作用得到简化的变量，计算可以大大简化。例如，用于解决周期性系统的作用角变量使用了规范变换。
- 识别运动常数：生成函数和规范变换的巧妙选择可以揭示系统中的守恒量，有助于解决方程。
- 量子力学变换：对于许多量子力学系统，经典背景在相空间中表示，其中规范变换有助于理解不同图像或基之间的转换。
规范变换的可视化表示
下面是一个示例图，显示从旧变量集合(q, p)到新集合(Q, P)的变换。注意当在这些坐标系统之间过渡时，每个变换都会保留底层相空间的辛结构。
左侧的块显示以(q, p)变量表示的原始系统，而右侧的块显示在转换坐标(Q, P)中表示的相同系统。箭头指示规范变换的方向。
总结
规范变换在哈密顿力学中很重要，因为它们保持哈密顿方程的结构。通过使用不同的生成函数，这些变换可以适应不同的物理问题。它们简化了计算，导致简化的相互作用，并且通常揭示守恒定律，使其在经典和量子力学研究中都很重要。
最终，理解和使用规范变换使科学家和工程师能够处理复杂的物理系统，并提供对其行为和演化的更深入见解。
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