哈密顿混沌与可积性

经典力学领域为我们提供了强大的工具来描述宇宙中粒子和系统的运动。在这些工具中，拉格朗日力学和哈密顿力学提供了两种互补的方法来理解动力学。在这片广阔的领域中，混沌和统一的概念在预测系统的运动和确定其结构方面起着关键作用。在本次演讲中，我们将通过拉格朗日力学和哈密顿力学的视角探索哈密顿混沌和统一，突出这些现象。

经典力学：拉格朗日和哈密顿公式

经典力学因约瑟夫·路易·拉格朗日的形式主义而发生了革命性的变化，他的工作改变了我们理解运动的方式。与牛顿力学的重点放在力上不同，拉格朗日公式关注于静止作用原理。这里的基本量是拉格朗日量 L，定义如下，即系统的动能 T 和势能 V 之间的差：

L = T – V

给定广义坐标 q_i 及其时间导数（速度） dot{q}_i，系统的动力学由欧拉-拉格朗日方程决定：

(frac{d}{dt} left( frac{partial L}{partial dot{q}_i} right) - frac{partial L}{partial q_i} = 0)

相比之下，由威廉·罗恩·哈密顿开发的哈密顿方法将运动方程转换为涉及广义动量 p_i 的形式。哈密顿量 H 表达为：

H = sum_i p_i dot{q}_i - L

描述该系统的方程是哈密顿方程：

(dot{q}_i = frac{partial H}{partial p_i})
    (dot{p}_i = -frac{partial H}{partial q_i})

哈密顿系统中的可积性

在哈密顿系统的背景下，可积性是指可以解析地求解运动方程的能力。当系统具有足够多的守恒量（或运动常数）和对称性时，这种情况是可能的。

可积性的定义

具有 n 个自由度的哈密顿系统是绝对可积的，如果存在 n 个独立的守恒量，这些守恒量是对合的，即它们的泊松括号为零：

({F_i, F_j} = 0 text{ for all } i, j)

例子：简单摆

这方面的经典例子是简单摆。其哈密顿量可写为：

H = frac{p_theta^2}{2mell^2} + mgh(1 - costheta)

其中 p_theta 是角度 theta 的共轭动量，m 是质量，ell 是长度，h 是摆的高度。该系统是可积的，因为可以精确求解，其中能量是动量的积分。