Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Ecuaciones de movimiento de Euler


En el campo de la mecánica clásica, el estudio de la dinámica de cuerpos rígidos proporciona información importante sobre cómo cambian la orientación y posición de un objeto con el tiempo. Uno de los matemáticos que fundó este campo fue Leonard Euler (1707–1783). Las ecuaciones de movimiento de Euler proporcionan una herramienta poderosa para describir la dinámica rotacional de un cuerpo rígido sin tener que seguir cada punto del cuerpo.

Preparando el escenario: comprensión de cuerpos rígidos

Un cuerpo rígido es una idealización de un cuerpo sólido en el que se descuida la deformación. Esto significa que la distancia entre dos puntos cualquiera en un cuerpo rígido permanece constante, independientemente de las fuerzas externas o momentos aplicados a él. Analizar tales sistemas implica comprender el movimiento rotacional, lo que aumenta la complejidad en comparación con el simple movimiento traslacional.

Descripción del movimiento rotacional

Utilizamos varios conceptos clave para describir el movimiento rotacional de cuerpos rígidos:

  • Velocidad angular (ω): Esta cantidad vectorial describe la velocidad de rotación alrededor de un eje.
  • Tensor de inercia (I): Esta es una representación matemática de cómo se distribuye la masa dentro de un cuerpo rígido y cómo esto afecta la rotación.
  • Momento angular (L): Un vector que representa el momento de un cuerpo en rotación. Se define como L = I ω.

Ejemplos ilustrativos

Imagina un trompo girando:

ω

La línea indica el eje alrededor del cual gira el trompo, mientras que la flecha representa su vector de velocidad angular.

Formulación de las ecuaciones de Euler

Las ecuaciones de movimiento de Euler se derivan de la segunda ley de Newton aplicada a sistemas en rotación. Para un cuerpo rígido que no está en su eje principal de rotación, tenemos:

    dL/dt = τ

donde L es el momento angular y τ es el torque aplicado al cuerpo. Para un cuerpo rígido con tensor de momento de inercia I, el momento angular L en coordenadas fijas al cuerpo puede expresarse como:

    L = Iω

La forma diferencial del momento angular se convierte en:

    d(Iω)/dt + ω x (Iω) = τ

Suponiendo que I es simétrico y estacionario (como se ve en muchas aplicaciones), y que ω se expresa en el marco del cuerpo rotante, se simplifica el análisis de las ecuaciones de Euler:

    I₁(dω₁/dt) – (I₂ – I₃)ω₂ω₃ = τ₁
    I₂(dω₂/dt) – (I₃ – I₁)ω₃ω₁ = τ₂
    I₃(dω₃/dt) – (I₁ – I₂)ω₁ω₂ = τ₃

Aquí, I₁, I₂, I₃ son los momentos principales de inercia, y ω₁, ω₂, ω₃ son los componentes correspondientes de la velocidad angular. Los torques aplicados sobre cada eje son τ₁, τ₂, τ₃.

Ejemplo 2

Considera un buzo realizando un giro en el aire:

ω

Cuando el buzo mueve sus brazos hacia adentro o afuera, cambia la distribución de masa, proporcionando un ejemplo del mundo real de cómo el tensor de inercia puede cambiar el momento angular de un cuerpo.

Eje principal y simetría

El análisis se simplifica considerablemente si el cuerpo rígido rota sobre sus ejes principales de inercia. Para cuerpos que exhiben simetría, los momentos de inercia sobre dos ejes pueden ser iguales (por ejemplo, un cilindro), haciendo las ecuaciones mucho más simples.

Por ejemplo, considera un disco uniforme con simetría alrededor de su centro. El tensor de inercia puede diagonalizarse con I₁ = I₂. Las ecuaciones de Euler simplificadas son:

    I(dω₁/dt) = τ₁
    I(dω₂/dt) = τ₂
    0 = τ₃ (sin torque alrededor del eje de simetría)

Esto enfatiza cómo la simetría física puede simplificar el análisis rotacional.

Aplicaciones prácticas

Ejemplo: dinámica de giroscopios

Los giroscopios proporcionan aplicaciones prácticas fascinantes de las ecuaciones de Euler. Estos dispositivos utilizan el movimiento rotacional para mantener la orientación, lo cual se usa comúnmente en sistemas de navegación.

Considera un giroscopio con una rueda rotante:

ω

La estabilidad de una rueda rotativa mantiene su momento angular incluso en ausencia de torque externo, demostrando las leyes de conservación asociadas con las ecuaciones de Euler.

Técnicas de solución

A menudo se necesitan métodos numéricos para resolver las ecuaciones de Euler para problemas específicos, especialmente cuando hay inhomogeneidades o discontinuidades en la malla. Algunas técnicas incluyen:

  • Métodos de Runge-Kutta
  • integración numérica
  • Técnica de Exponencial de Matriz

Estos métodos ayudan a predecir el comportamiento a lo largo del tiempo, especialmente en sistemas complejos que no admiten una solución en forma cerrada.

Conclusión

Las ecuaciones de movimiento de Euler proporcionan una forma profunda de entender la dinámica rotacional de cuerpos rígidos en la mecánica clásica. La capacidad de explorar sistemas complejos a través de velocidades angulares, torques y momentos de inercia proporciona una base tanto para la exploración teórica como para la aplicación práctica. Ya sea investigando la rotación de la Tierra, el movimiento de maquinaria en aplicaciones industriales o la simple belleza de un patinador de hielo girando, las ecuaciones de Euler revelan el intrincado ballet de fuerzas y movimientos en nuestro universo.


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