Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Momentos principales de inercia


El estudio de los momentos principales de inercia es un aspecto esencial de la dinámica de cuerpos rígidos en la mecánica clásica. Un cuerpo rígido es un objeto sólido en el que se descarta la deformación, lo que significa que la distancia entre dos puntos cualesquiera en el cuerpo permanece constante independientemente de las fuerzas aplicadas. En esta lección, exploraremos los momentos principales de inercia y entenderemos su importancia en el análisis del movimiento y la estabilidad de los cuerpos rígidos.

Entendiendo la inercia

La inercia es una propiedad de la materia que mide su resistencia a un cambio en su estado de movimiento. Para un cuerpo rígido, describimos su inercia rotacional usando el momento de inercia, que depende de la distribución de masa en relación con el eje de rotación.

Definición de momento de inercia

El momento de inercia I de un cuerpo rígido sobre un eje particular se define como:

I = int r^2 , dm

donde r es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a un pequeño elemento de masa dm. La integral suma todas las contribuciones de estas pequeñas masas al cuerpo rígido.

Ejemplo: Momento de inercia de un cilindro sólido

Considere un cilindro sólido de masa M, radio R, y altura H girando sobre su eje central. El momento de inercia I_{cilindro} sobre este eje se da por:

I_{cilindro} = frac{1}{2} MR^2

Esta fórmula da la distribución de masa dentro del cilindro en relación con el eje de rotación.

Tensor de inercia

Para cuerpos rígidos tridimensionales, el concepto de inercia rotacional se vuelve más complicado porque las rotaciones pueden no estar alineadas a lo largo de los ejes principales. Por lo tanto, es útil describir la inercia rotacional usando el tensor de inercia (mathbf{I}), que es una matriz 3x3:

mathbf{I} = begin{pmatrix} I_{xx} & I_{xy} & I_{xz} \ I_{yx} & I_{yy} & I_{yz} \ I_{zx} & I_{zy} & I_{zz} end{pmatrix}

Los elementos del tensor de inercia, como I_{xy} o I_{zz}, se calculan mediante la integración sobre el cuerpo para la distribución de masa.

Visualización del tensor de inercia

X Y Jade I

Este diagrama presenta una vista simplificada de un cuerpo rígido tridimensional con ejes etiquetados. El tensor de inercia incorpora las interacciones entre estos ejes y refleja la complejidad de la distribución de masa.

Eje principal y momento principal de inercia

Los ejes principales de rotación son los ejes sobre los cuales los elementos fuera de la diagonal de la tensor de inercia suman a cero. Estos ejes simplifican bastante los cálculos. Cuando un cuerpo rígido rota sobre uno de estos ejes, el vector de momento angular se alinea con el vector de velocidad angular.

Los momentos principales de inercia son los elementos diagonales del tensor de inercia cuando se expresa en este sistema de coordenadas particular. En el marco del eje principal, el tensor de inercia se simplifica de la siguiente manera:

mathbf{I}_{principal} = begin{pmatrix} I_1 & 0 & 0 \ 0 & I_2 & 0 \ 0 & 0 & I_3 end{pmatrix}

donde I_1, I_2, y I_3 son los momentos principales de inercia sobre cada eje principal.

Ejemplo: Momentos principales para un prisma rectangular

Considere un prisma rectangular (como una caja) con lados a, b y c. Si el prisma tiene masa M, entonces los momentos principales de inercia sobre los ejes que pasan por el centro de masa y son paralelos a las caras son:

I_1 = frac{1}{12} M (b^2 + c^2) I_2 = frac{1}{12} M (a^2 + c^2) I_3 = frac{1}{12} M (a^2 + b^2)

Estos representan la resistencia del prisma a la rotación sobre sus ejes principales.

Encontrando los ejes principales

Para determinar los ejes principales, se deben encontrar los autovalores y autovectores del tensor de inercia. Los autovalores corresponden a los momentos principales de inercia, y los autovectores definen las direcciones de los ejes principales.

Encontrar los autovalores implica resolver la ecuación característica:

det(mathbf{I} - lambda mathbf{I}_{3x3}) = 0

donde lambda denota los autovalores y mathbf{I}_{3x3} es la matriz identidad.

Aplicación de Momentos Principales de Inercia

Los momentos principales de inercia son importantes en una variedad de aplicaciones. Son esenciales en el diseño de objetos y estructuras, como naves espaciales y satélites, para asegurar la estabilidad y el control adecuados. Aquí hay algunos ejemplos:

  • Modelado de naves espaciales: Cuando los ingenieros diseñan naves espaciales, conocer los momentos principales de inercia ayuda a predecir cómo reaccionará la nave espacial ante torques, ya sean causados por propulsores o fuerzas aerodinámicas.
  • Robótica: Entender el momento de inercia es importante en el modelado de brazos robóticos y sistemas de equilibrio.
  • Ingeniería estructural: El análisis de edificios y puentes puede involucrar el modelado de respuestas dinámicas, donde la inercia rotacional juega un papel importante.

Ejemplo ilustrativo: un trompo giratorio

Imagina un trompo giratorio. Experimenta precesión debido a la gravedad y su momento angular. La estabilidad y el movimiento del trompo giratorio están fuertemente afectados por sus momentos principales de inercia.

El comportamiento típico de un trompo giratorio se describe mediante el modelo del trompo de Lagrange. Aquí, los momentos principales de inercia determinan cuán fácilmente el trompo puede voltearse y cuán rápido puede girar de manera estable.

Conceptos adicionales

Teorema del eje perpendicular

Para objetos bidimensionales en un plano, el teorema del eje perpendicular establece que el momento de inercia sobre un eje perpendicular al plano es la suma de los momentos de inercia sobre dos ejes perpendiculares en el plano. Matemáticamente:

I_z = I_x + I_y

Este teorema simplifica el cálculo del momento de inercia para cuerpos planos.

Teorema del eje paralelo

El teorema del eje paralelo ayuda a encontrar el momento de inercia sobre cualquier eje paralelo al eje que pasa por el centro de masa. Si I_{cm} es el momento de inercia sobre el eje del centro de masa, y d es la distancia entre los dos ejes, entonces el teorema es:

I = I_{cm} + M d^2

donde M es la masa total del cuerpo.

Pensamientos finales

En conclusión, el estudio de los momentos principales de inercia es importante para entender cómo responden los cuerpos rígidos a las fuerzas y torques externos. Estos conceptos se aplican ampliamente en ingeniería, física y varias disciplinas científicas.

Para cualquier cuerpo rígido, los momentos y ejes principales proporcionan un marco mucho más simple para predecir y analizar la dinámica rotacional, eliminando la complejidad que traen las rotaciones no principales. Al dominar estas ideas, uno puede modelar efectivamente el comportamiento dinámico de los sistemas físicos.


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Momentos principales de inercia

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