Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Tensor de inercia


En la mecánica clásica, especialmente en el estudio de la dinámica de cuerpos rígidos, el concepto de "tensor de inercia" juega un papel importante. El tensor de inercia es un objeto matemático que describe la distribución de la masa dentro de un cuerpo rígido y afecta su movimiento de rotación. Entender el tensor de inercia es importante para analizar cómo los cuerpos rígidos se comportan cuando están sujetos a varias fuerzas y momentos.

¿Qué es un cuerpo rígido?

Antes de profundizar en el tensor de inercia, es esencial entender qué es un cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es una idealización de un cuerpo sólido donde la distancia entre dos puntos cualesquiera permanece constante, sin importar qué fuerza o momento externo se aplique. Esta aproximación ayuda a simplificar la compleja dinámica de los cuerpos sólidos al descartar la deformación.

Conceptos básicos de rotación

La rotación en física puede explicarse como el movimiento de un cuerpo alrededor de un punto o línea, conocido como el eje de rotación. Para un cuerpo rígido, cada punto del cuerpo sigue una trayectoria circular centrada alrededor del eje.

Los parámetros clave que describen el movimiento de rotación incluyen:

  • Velocidad angular (ω): La tasa a la cual un objeto rota o gira.
  • Momento de inercia (I): Un valor escalar que representa la inercia rotacional de un objeto.
  • Momento angular (L): El equivalente rotacional del momento lineal, definido como L = Iω.

Del momento de inercia al tensor de inercia

El concepto de momento de inercia surge de la dinámica simple de objetos planos (2D). Para tales cuerpos, el momento de inercia mide la resistencia al movimiento de rotación alrededor de un eje perpendicular a su plano. Sin embargo, para cuerpos tridimensionales, esta medida escalar carece del detalle necesario. El tensor de inercia extiende este concepto más allá, permitiendo la descripción de propiedades rotacionales relacionadas con diferentes ejes.

Definiendo el tensor de inercia

El tensor de inercia es una matriz 3x3 que codifica información sobre cómo la masa está distribuida sobre cada eje de coordenadas. Se denota por I y generalmente tiene la forma:

    I = | I xx -I xy -I xz | | -I yx I yy -I yz | | -I zx -I zy I zz |

En esta matriz, los elementos diagonales (I xx, I yy, I zz) son conocidos como los momentos principales de inercia, mientras que los elementos fuera de la diagonal son denominados momentos de inercia producto. Cada uno de estos términos tiene su propia interpretación específica:

  • I xx, I yy, I zz: miden la resistencia del cuerpo a la rotación alrededor de los ejes x, y, y z, respectivamente.
  • I xy, I yz, I zx: Reflejan el acoplamiento entre rotaciones sobre diferentes ejes.

Derivación matemática

El tensor de inercia se obtiene a partir de integrales sobre la distribución de masa ρ(r) dentro de un cuerpo rígido. Los elementos de la matriz de inercia se calculan como:

    I xx = ∫ (y 2 + z 2 ) dm I yy = ∫ (x 2 + z 2 ) dm I zz = ∫ (x 2 + y 2 ) dm I xy = -∫ xy dm I yz = -∫ yz dm I zx = -∫ zx dm

Estas expresiones muestran cómo la inercia refleja la distribución de masa sobre los ejes. Si la estructura es simétrica sobre los planos correspondientes, los elementos fuera de la diagonal suman cero.

Interpretación física y eje principal

Los ejes principales de un cuerpo rígido son los ejes de coordenadas sobre los cuales los productos de inercia (términos cruzados) se anulan, lo que simplifica fuertemente el análisis. Cuando un cuerpo rota alrededor del eje principal, el movimiento de rotación no está acoplado con rotaciones sobre los otros ejes.

Ejemplo visual

Jade X Y

En este ejemplo visual, el círculo representa un cuerpo, cuyos ejes principales (X, Y, Z) están indicados usando líneas discontinuas. La rotación alrededor de cualquiera de estos ejes hace que sea más fácil considerar solo el momento principal de inercia.

Propiedades del tensor de inercia

El tensor de inercia tiene varias propiedades importantes:

  • Simetría: I ij = I ji para todos i, j. Esto asegura que el tensor de inercia sea siempre una matriz simétrica.
  • Real y definido positivo: derivado de la distancia al cuadrado, sus valores propios son positivos, asegurando soluciones físicamente significativas para la mecánica rotacional.
  • Diagonalización: Al encontrar posibles rotaciones (generalmente mediante métodos de vectores propios), el tensor de inercia puede transformarse en una forma diagonal a lo largo de los ejes principales del cuerpo.

Aplicaciones y ejemplos

El tensor de inercia se utiliza ampliamente en física e ingeniería, desde la mecánica hasta la robótica y la ingeniería aeroespacial.

Ejemplo: ecuaciones de movimiento rotacional

Para un cuerpo rígido en movimiento, el momento angular L está relacionado con el torque τ por la siguiente relación:

    τ = dL/dt

Sin embargo, para un sistema simple, L = I ω, lo que muestra la interdependencia de los diferentes componentes de velocidad angular. Esto puede entenderse usando la operación de matriz asociada con el tensor de inercia, I:

    L = I ω

Ejemplo: movimiento giroscópico

El tensor de inercia es fundamental en el análisis de efectos giroscópicos, asegurando la alineación en objetos como satélites o maquinaria rotativa. Los ejes principales determinan el estado estable durante el giro, revelando la minimización del acoplamiento a lo largo de los ejes tangenciales.

Resumen

El tensor de inercia va más allá de la simple noción de concentración de masa, proporcionando una clave para entender cómo diferentes rotaciones axiales interactúan dentro de un cuerpo rígido. Desde naves espaciales de última generación hasta maquinaria compleja, entender la dinámica reducida a este único constructo matemático enriquece un entendimiento más profundo y matizado de la rotación, proporcionando una mayor profundidad de comprensión de las reglas fundamentales que gobiernan el movimiento.


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