Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

Posgrado → Mecánica clásica → Movilidad de cuerpo rígido ↓


Estabilidad de la velocidad de rotación


La estabilidad del movimiento rotacional en la dinámica de cuerpos rígidos es un tema fascinante en la mecánica clásica. En términos simples, se refiere a cómo un cuerpo en rotación, como una peonza o un planeta, mantiene su rotación sin desviarse de su curso o tambalearse excesivamente. Comprender este concepto requiere examinar una variedad de fenómenos físicos, desde fuerzas y torques hasta momentos de inercia y momento angular.

1. Conceptos básicos de la dinámica de cuerpos rígidos

En la mecánica clásica, un cuerpo rígido es una idealización de un objeto que no se deforma bajo presión. Mantiene un tamaño y forma constantes a pesar de las fuerzas externas. El estudio de la dinámica de cuerpos rígidos gira en torno a predecir y comprender el comportamiento de estos cuerpos cuando están sujetos a fuerzas y torques externos.

1.1 Representación de cuerpos rígidos

Un cuerpo rígido puede definirse por un conjunto de partículas donde la distancia entre dos partículas cualesquiera permanece constante en el tiempo. Para un cuerpo rígido en rotación, es importante comprender su movimiento rotacional, que implica la rotación alrededor de un eje. Esta rotación puede ser ya sea alrededor de un eje que pasa por el cuerpo o alrededor de un eje externo fijo.

1.2 Velocidad angular y momento angular

La velocidad angular ω de un cuerpo rígido es una cantidad vectorial que describe la tasa de rotación y la dirección del eje de rotación. El momento angular L de un cuerpo rígido se define como:

L = I × ω

donde I es el momento de inercia, una medida de la resistencia de un objeto a un cambio en su velocidad de rotación.

2. El concepto de estabilidad rotacional

La estabilidad rotacional en la dinámica de cuerpos rígidos trata de si un cuerpo en rotación puede continuar rotando sobre un eje principal sin desviarse. Factores como la distribución de masa, la velocidad de rotación y las fuerzas externas afectan esta estabilidad. Comprender estos factores ayuda a predecir si un objeto en rotación mantendrá su movimiento o se volverá inestable.

2.1 Momento de inercia y estabilidad

El momento de inercia de un cuerpo rígido es importante para determinar su estabilidad rotacional. Este valor escalar depende de la distribución de masa alrededor del eje de rotación. Un gran momento de inercia significa que la masa está distribuida lejos del eje, lo que dificulta cambiar el estado rotacional del cuerpo.

Para formas simples, el momento de inercia a menudo se puede calcular analíticamente. Por ejemplo, el momento de inercia I para una esfera sólida girando sobre su eje se expresa como:

I = (2/5) × m × r²

donde m es la masa y r es el radio de la esfera. Considere un disco girando alrededor de un eje a través de su centro:

I = (1/2) × m × r²

3. Ejemplos prácticos de estabilidad rotacional

3.1 Ejemplo: Peonza

Un ejemplo clásico de estabilidad en rotación es una peonza. La estabilidad de una peonza se debe a su momento angular y al efecto giroscópico. A medida que gira, permanece erguida gracias a la estabilidad que obtiene de su rápida rotación.

3.2 Ejemplo: Rueda giratoria

Una rueda de bicicleta giratoria exhibe estabilidad a través de efectos giroscópicos. Cuando la rueda gira rápidamente, su momento angular ayuda a resistir fuerzas que de otro modo causarían que se volcara.

Eje

4. Tratamiento matemático de la estabilidad

Para entender la estabilidad rotacional cuantitativamente, se debe profundizar en las matemáticas de los sistemas rotacionales. Una de las ecuaciones más importantes en la dinámica rotacional es la ecuación de rotación de Euler, que se da como:

τ = dL/dt

donde τ es el torque aplicado, y L es el momento angular.

4.1 Ecuaciones de Euler

Las ecuaciones de Euler son tres ecuaciones acopladas en términos de los momentos de inercia sobre los ejes principales (I₁, I₂, I₃) y las velocidades angulares (ω₁, ω₂, ω₃) sobre esos ejes:

I₁ × (α₁ - ω₂ω₃(I₂ - I₃)) = M₁
 I₂ × (α₂ - ω₃ω₁(I₃ - I₁)) = M₂
 I₃ × (α₃ - ω₁ω₂(I₁ - I₂)) = M₃

Aquí, M₁, M₂ y M₃ son los componentes del momento o torque aplicado sobre cada eje principal, y α corresponde a la aceleración angular.

5. Inestabilidad en la rotación

Mientras que algunos objetos son estables durante la rotación, otros son inherentemente inestables. Un ejemplo clásico es intentar girar un libro sobre su eje intermedio. A diferencia del giro estable sobre sus ejes más largos y más cortos, el giro sobre el eje intermedio es inestable. Pequeñas perturbaciones pueden causar que la rotación tambalee o incluso que cambie completamente el eje de rotación.

Eje intermedio

5.1 Implicaciones prácticas

La inestabilidad tiene implicaciones prácticas en la ingeniería, la aviación y la exploración espacial. Los ingenieros deben asegurarse de que la maquinaria rotativa, como las turbinas, esté balanceada dinámicamente para evitar fallas catastróficas. De manera similar, los satélites y cohetes requieren sistemas de control precisos para mantener la orientación durante el vuelo.

6. Efecto giroscópico y estabilidad

Los giroscopios aprovechan la estabilidad rotacional. Al rotar, el giroscopio mantiene su orientación debido a la conservación del momento angular. Esta propiedad permite que dispositivos como brújulas o sistemas de navegación inercial proporcionen estabilidad y dirección.

Precesión de un giroscopio, o el movimiento lento y circular del eje de giro debido al torque externo, también refleja la estabilidad rotacional. Predecir la precesión es importante para entender sistemas complejos como naves espaciales en rotación.

6.1 Fórmula de precesión

La frecuencia de precesión Ω puede estimarse de la siguiente manera:

Ω = (mgr) / (Iω)

donde m es la masa, g es la aceleración gravitacional, r es la distancia desde el punto de pivote, y ω es la velocidad angular de giro.

Conclusión

La estabilidad del movimiento rotacional en la dinámica de cuerpos rígidos es crucial para comprender los sistemas mecánicos y los fenómenos naturales. Desde peonzas hasta planetas en órbita, dominar la mecánica detrás de la estabilidad rotacional nos brinda las herramientas para modelar y resolver desafíos complejos en la física y la ingeniería.

Un conocimiento profundo de conceptos como el momento de inercia, el efecto giroscópico y las ecuaciones de Euler es esencial para navegar en el universo rotacional, asegurando tanto conocimientos teóricos como aplicaciones prácticas.


Posgrado → 1.3.5


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (1.3.4)
Tensor de inercia
Siguiente (1.4) →
Dinámica no lineal y caos

Comentarios 



Estabilidad de la velocidad de rotación

https://www.physicsflow.com/g/1.3.5?pfal=es