Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Movilidad de cuerpo rígido


La dinámica de cuerpos rígidos es una rama de la mecánica clásica que investiga cómo se mueven los cuerpos sólidos bajo la influencia de fuerzas. A diferencia de las masas puntuales consideradas en otras áreas de la mecánica, los cuerpos rígidos tienen un tamaño y forma definidos, lo que significa que las posiciones relativas de sus partículas constituyentes permanecen sin cambios. Esta suposición simplifica el análisis del movimiento porque nos permite centrarnos en la dinámica de rotación en lugar de en las partículas individuales. La dinámica de cuerpos rígidos tiene amplias aplicaciones, incluidas la ingeniería mecánica, la robótica, la aeroespacial, la biomecánica y más.

Definiciones básicas

Un cuerpo rígido se define como un objeto que tiene una distribución de masa uniforme y una forma definida que no se deforma cuando se aplican fuerzas. La simplificación se realiza suponiendo que no cambian las distancias entre dos partículas dentro del cuerpo como resultado de las fuerzas aplicadas. En la práctica, los objetos rara vez son perfectamente rígidos, pero esta suposición es cierta para muchos materiales de ingeniería en condiciones normales.

Grados de libertad

Un cuerpo rígido en el espacio suele tener seis grados de libertad: tres traslacionales y tres rotacionales. Los grados de libertad traslacionales permiten al cuerpo rotar a lo largo de los ejes x, y, y z, mientras que los grados rotacionales permiten al cuerpo rotar alrededor de estos ejes. Estos conceptos son importantes de entender porque determinan los posibles movimientos que puede experimentar un cuerpo rígido.

Movimiento traslacional y rotacional

Podemos dividir el movimiento de un cuerpo rígido en componentes traslacionales y rotacionales. El componente traslacional representa el movimiento del centro de masa (CDM) del cuerpo, mientras que el componente rotacional trata con el movimiento del cuerpo alrededor de su CDM. Una analogía para aclarar esto sería imaginar un frisbee girando en el aire. Se mueve en el espacio y gira alrededor de un eje.

Movimiento traslacional

El movimiento traslacional se describe en términos del centro de masa. El centro de masa puede considerarse como la ubicación promedio de la distribución de masa del cuerpo. Para el movimiento traslacional:

F = ma

Aquí, F es la fuerza total que actúa sobre el cuerpo, m es la masa y a es la aceleración del centro de masa.

Movimiento rotacional

El movimiento rotacional de un cuerpo rígido suele ser más complejo. Está gobernado por conceptos como el momento de inercia y el torque. El momento de inercia representa la resistencia del cuerpo a un cambio en el movimiento rotacional y depende de la distribución de masa alrededor del eje de rotación. La ecuación que gobierna la dinámica rotacional es:

T = Iα

En esta ecuación, T es el torque, I es el momento de inercia y α es la aceleración angular.

Para visualizarlo, imagina una rueda giratoria. Si el eje es libre, la rueda no quiere dejar de girar instantáneamente porque tiene momento de inercia.

Ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido

Para entender la dinámica de un cuerpo rígido, usamos las leyes de Newton adaptadas para la rotación:

Ecuaciones de Euler

Las ecuaciones de Euler describen el movimiento rotacional de un cuerpo rígido sin tener en cuenta las fuerzas traslacionales:

I₁ω̇₁ - (I₂ - I₃)ω₂ω₃ = T₁
I₂ω̇₂ - (I₃ - I₁)ω₃ω₁ = T₂
I₃ω̇₃ - (I₁ - I₂)ω₁ω₂ = T₃

Aquí, I₁, I₂, I₃ son los momentos de inercia principales y ω₁, ω₂, ω₃ son los componentes de velocidad angular sobre los ejes principales. T₁, T₂, T₃ son los torques, respectivamente.

Aplicaciones en varios campos

Robótica

La dinámica de cuerpos rígidos es fundamental en robótica para diseñar y controlar brazos robóticos. Comprender la dinámica permite a los robots realizar tareas complejas calculando el torque necesario para lograr el movimiento deseado.

Aeroespacial

En ingeniería aeroespacial, la dinámica de cuerpos rígidos se utiliza para predecir el comportamiento de aviones y naves espaciales. Los sistemas de control se diseñan en base a la comprensión de la dinámica para asegurar estabilidad y maniobrabilidad.

Ingeniería mecánica

Muchos sistemas mecánicos, como engranajes y motores, dependen de la dinámica de cuerpos rígidos. Los cálculos incorrectos pueden llevar a la ineficiencia o al fallo, por lo que esta comprensión es crítica en la fase de diseño y prueba.

Análisis de estabilidad

Al analizar la dinámica, es importante entender la estabilidad. La estabilidad se refiere a la tendencia de un cuerpo a volver a un estado después de una perturbación. Esto se explora a menudo mediante métodos de energía o linealizando las ecuaciones de movimiento.

Problema de ejemplo

Considera un disco sólido girando con una velocidad angular inicial ω₀. Si un torque T actúa sobre él durante un tiempo Δt, entonces la nueva velocidad angular ω se puede encontrar usando:

ω = ω₀ + (T/I)Δt

Sea ω₀ = 5 rad/s, T = 10 Nm, I = 2 kg · m², y Δt = 3 s. Entonces:

ω = 5 + (10/2) * 3 = 5 + 15 = 20 rad/s

Conclusión

La dinámica de cuerpos rígidos es un área fascinante e importante de estudio en la mecánica clásica, haciéndola indispensable en una variedad de campos donde se analiza el movimiento de cuerpos sólidos. A pesar de que los materiales reales no son perfectamente rígidos, las simplificaciones proporcionadas por las suposiciones de cuerpos rígidos permiten a ingenieros, científicos e investigadores resolver problemas prácticos relacionados con el movimiento, lo que lleva a avances en tecnología y en la comprensión de nuestro mundo físico.


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