Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Mobilidade de corpo rígido


A dinâmica de corpos rígidos é um ramo da mecânica clássica que investiga como corpos sólidos se movem sob a influência de forças. Ao contrário das massas pontuais consideradas em outras áreas da mecânica, os corpos rígidos têm um tamanho e forma definidos, o que significa que as posições relativas de suas partículas constituintes permanecem inalteradas. Essa suposição simplifica a análise do movimento porque nos permite focar na dinâmica rotacional em vez de nas partículas individuais. A dinâmica de corpos rígidos tem amplas aplicações, incluindo engenharia mecânica, robótica, aeroespacial, biomecânica e mais.

Definições básicas

Um corpo rígido é definido como um objeto que possui uma distribuição de massa uniforme e uma forma definida que não se deforma quando forças são aplicadas. A simplificação é feita ao assumir que nenhuma distância muda entre quaisquer duas partículas dentro do corpo como resultado das forças aplicadas. Na prática, os objetos raramente são perfeitamente rígidos, mas essa suposição é verdadeira para muitos materiais de engenharia em condições normais.

Graus de liberdade

Um corpo rígido no espaço geralmente tem seis graus de liberdade: três translacionais e três rotacionais. Graus de liberdade translacionais permitem que o corpo se mova ao longo dos eixos x, y e z, enquanto os graus rotacionais permitem que o corpo gire em torno desses eixos. Esses conceitos são importantes para entender porque determinam os movimentos possíveis que um corpo rígido pode realizar.

Movimento translacional e rotacional

Podemos dividir o movimento de um corpo rígido em componentes translacionais e rotacionais. O componente translacional representa o movimento do centro de massa (CM) do corpo, enquanto o componente rotacional lida com o movimento do corpo em torno de seu CM. Uma analogia para tornar isso claro seria imaginar um frisbee girando no ar. Ele se move no espaço e gira em torno de um eixo.

Movimento translacional

O movimento translacional é descrito em termos do centro de massa. O centro de massa pode ser pensado como a localização média da distribuição de massa do corpo. Para o movimento translacional:

F = ma

Aqui, F é a força total atuando no corpo, m é a massa, e a é a aceleração do centro de massa.

Movimento rotacional

O movimento rotacional de um corpo rígido é frequentemente mais complexo. É governado por conceitos como momento de inércia e torque. Momento de inércia representa a resistência do corpo a uma mudança no movimento rotacional e depende da distribuição de massa em torno do eixo de rotação. A equação que governa a dinâmica rotacional é:

T = Iα

Nessa equação, T é o torque, I é o momento de inércia, e α é a aceleração angular.

Para visualizar, imagine uma roda giratória. Se o eixo for livre, a roda não quer parar de girar instantaneamente porque tem momento de inércia.

Equações de movimento para um corpo rígido

Para entender a dinâmica de um corpo rígido, usamos as leis de Newton adaptadas para rotação:

Equações de Euler

As equações de Euler descrevem o movimento rotacional de um corpo rígido sem levar em conta forças translacionais:

I₁ω̇₁ - (I₂ - I₃)ω₂ω₃ = T₁
I₂ω̇₂ - (I₃ - I₁)ω₃ω₁ = T₂
I₃ω̇₃ - (I₁ - I₂)ω₁ω₂ = T₃

Aqui, I₁, I₂, I₃ são os momentos de inércia principais e ω₁, ω₂, ω₃ são os componentes da velocidade angular sobre os eixos principais. T₁, T₂, T₃ são os torques, respectivamente.

Aplicações em vários campos

Robótica

A dinâmica de corpos rígidos é fundamental na robótica para projetar e controlar braços robóticos. Compreender a dinâmica permite que os robôs realizem tarefas complexas calculando o torque necessário para alcançar o movimento desejado.

Aeroespacial

Na engenharia aeroespacial, a dinâmica de corpos rígidos é usada para prever o comportamento de aeronaves e espaçonaves. Os sistemas de controle são projetados com base na compreensão da dinâmica para garantir estabilidade e manobrabilidade.

Engenharia Mecânica

Muitos sistemas mecânicos, como engrenagens e motores, dependem da dinâmica de corpos rígidos. Cálculos incorretos podem levar à ineficiência ou falha, tornando essa compreensão crítica na fase de projeto e teste.

Análise de estabilidade

Ao analisar a dinâmica, é importante entender a estabilidade. Estabilidade refere-se à tendência de um corpo voltar a um estado após uma perturbação. Isso é frequentemente explorado através de métodos de energia ou linearizando as equações de movimento.

Problema exemplo

Considere um disco sólido girando com uma velocidade angular inicial ω₀. Se um torque T atuar sobre ele por um tempo Δt, então a nova velocidade angular ω pode ser encontrada usando:

ω = ω₀ + (T/I)Δt

Seja ω₀ = 5 rad/s, T = 10 Nm, I = 2 kg · m² e Δt = 3 s. Então:

ω = 5 + (10/2) * 3 = 5 + 15 = 20 rad/s

Conclusão

A dinâmica de corpos rígidos é uma área de estudo fascinante e importante na mecânica clássica, tornando-se indispensável em uma variedade de campos onde o movimento de corpos sólidos é analisado. Apesar dos materiais reais não serem perfeitamente rígidos, as simplificações fornecidas pelas suposições de corpo rígido permitem que engenheiros, cientistas e pesquisadores resolvam problemas práticos relacionados ao movimento, levando a avanços na tecnologia e na compreensão do nosso mundo físico.


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