Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Análisis de espacio de fases y estabilidad


El análisis de espacio de fases y estabilidad son conceptos clave para entender la dinámica no lineal y el caos, particularmente en el ámbito de la mecánica clásica. Estas ideas nos proporcionan formas de explorar visual y matemáticamente el comportamiento de los sistemas dinámicos, que pueden mostrar una amplia gama de comportamientos, desde movimiento periódico simple hasta dinámicas caóticas complejas.

Espacio de fases

En mecánica clásica, el espacio de fases es un espacio multidimensional donde cada estado posible de un sistema se representa por un punto único. Para un sistema de n dimensiones, el espacio de fases es típicamente de 2n dimensiones porque representa todos los valores posibles de posiciones y momentos.

Definición de espacio de fases

Imagina un oscilador armónico simple, como una masa en un resorte. El estado de este sistema en cualquier momento se define por su posición x y momento p. Así, su espacio de fases es bidimensional, con los ejes representando x y p. Un solo punto en este espacio de fases especifica completamente el estado del oscilador.

P X(x, p)

En este diagrama, el eje horizontal representa la posición x y el eje vertical representa el momento p. El punto rojo representa el estado actual del sistema en este espacio de fases.

Espacio de fases de alta dimensión

Para sistemas más complejos, como aquellos con muchas partículas o grados de libertad, el espacio de fases se vuelve de mayor dimensión. Por ejemplo, considera un sistema bidimensional como un péndulo doble. El espacio de fases no solo contendrá la posición y el momento de cada masa, sino que será un espacio de 4 dimensiones si asumimos que cada grado de libertad puede describirse mediante una posición y una coordenada de momento.

Para visualizar estos espacios de alta dimensión, los físicos suelen utilizar técnicas como proyecciones en espacios de menor dimensión o secciones de Poincaré, que pueden capturar la dinámica esencial incluso en dimensiones más bajas.

Trayectorias y flujos

En el espacio de fases, la evolución de un sistema puede ser vista como una trayectoria o flujo. Estas trayectorias representan cómo cambia el estado del sistema a lo largo del tiempo.

Considera un péndulo que oscila de un lado a otro. En el espacio de fases, este movimiento puede aparecer como una elipse, donde el sistema traza un camino continuo mientras oscila:

P X

El flujo de un sistema se refiere a cómo las trayectorias llenan el espacio de fases a lo largo del tiempo. La naturaleza de estos flujos (si convergen, divergen o siguen caminos complejos) revela mucho sobre la estabilidad y el comportamiento a largo plazo del sistema.

Punto de equilibrio

Los puntos de equilibrio o estacionarios en el espacio de fases son puntos donde el sistema no cambia con el tiempo; es decir, una vez que el sistema está en el estado de equilibrio, permanece allí.

Para un sistema simple que está gobernado por una ecuación diferencial de la siguiente forma:

(dot{x} = f(x))

Un punto de equilibrio x_e satisface f(x_e) = 0. En el espacio de fases, estos puntos aparecen como puntos estacionarios, o puntos donde las trayectorias se intersectan.

Tipos de puntos de equilibrio

Los puntos de equilibrio pueden clasificarse según su estabilidad:

  • Equilibrio estable: pequeñas perturbaciones resultan en trayectorias que regresan al equilibrio.
  • Equilibrio inestable: pequeñas perturbaciones resultan en trayectorias que se alejan del equilibrio.
  • Punto de silla: algunas direcciones de la trayectoria son estables y otras son inestables.

Análisis de estabilidad

El análisis de estabilidad implica determinar la naturaleza de los puntos de equilibrio en el espacio de fases y el comportamiento general de las trayectorias. Aquí, a menudo confiamos en una aproximación lineal del sistema.

Linealización

Cerca del punto de equilibrio, un sistema no lineal puede ser a menudo aproximado por un sistema lineal utilizando una expansión en serie de Taylor. Considera el sistema no lineal descrito por:

(dot{x} = f(x))

Si x_e es un punto de equilibrio, entonces podemos escribir la expansión de Taylor alrededor de este punto como:

(dot{x} approx f(x_e) + A(x - x_e)) donde (A) es la matriz Jacobiana de derivadas parciales.

Los autovalores de la matriz Jacobiana A proporcionan información sobre la estabilidad local del punto de equilibrio:

  • Parte real del autovalor negativa → punto estacionario.
  • Partes reales de los autovalores positivas → punto inestable.
  • Parte real del autovalor es cero → se necesita un análisis más profundo.

Ejemplo: Péndulo simple

Considera el clásico ejemplo de un péndulo. Las ecuaciones de movimiento se dan como:

(ddot{theta} + frac{g}{L} sin theta = 0)

Cerca de ángulos pequeños, aproximamos (sin theta approx theta) (aproximación de ángulo pequeño), obteniendo una ecuación diferencial lineal:

(ddot{theta} + frac{g}{L} theta = 0)

Es un oscilador armónico lineal cuyo equilibrio es estable en (theta = 0).

Dinámica no lineal y caos

Cuando los sistemas no pueden ser aproximados por ecuaciones lineales, o cuando las aproximaciones lineales no capturan todo el comportamiento, debemos investigar su dinámica más a fondo.

Las dinámicas no lineales pueden llevar a menudo al caos, un comportamiento complejo que parece aleatorio pero es determinístico. En los sistemas caóticos, incluso pequeñas diferencias en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados muy diferentes. Esta sensibilidad a las condiciones iniciales es comúnmente conocida como el efecto mariposa.

La idea del caos

Considera el mapa logístico, un modelo matemático simple que modela el comportamiento caótico:

(x_{n+1} = r x_n (1 - x_n))

Cambiar el parámetro r hace que el sistema exhiba dinámicas diferentes. Para algunos valores, muestra oscilaciones estables, mientras que para otros, se vuelve caótico. En el espacio de fases, los sistemas caóticos no se establecen en puntos fijos ni en órbitas simples, en su lugar, forman atractores insólitos, como el famoso atractor de Lorenz:

Ruta caótica

En este diagrama, las líneas azules representan trayectorias en evolución que se retuercen y expanden intrincadamente dentro de una región limitada del espacio de fases.

Conclusión

El análisis de espacio de fases y estabilidad proporciona herramientas poderosas para explorar el comportamiento complejo de los sistemas dinámicos en la mecánica clásica. Al observar trayectorias en el espacio de fases y analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio, podemos entender la amplia gama de comportamientos que estos sistemas pueden exhibir, desde movimiento estable hasta caos impredecible. Estos conceptos son esenciales para predecir el comportamiento del sistema en campos tan diversos como la meteorología, la ingeniería e incluso las finanzas, donde la sensibilidad a las condiciones iniciales puede tener profundas implicaciones.


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