Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Exponente de Lyapunov


En el campo de la dinámica no lineal y la teoría del caos, los exponentes de Lyapunov juegan un papel clave en la comprensión del comportamiento de los sistemas dinámicos. Nombrados en honor al matemático ruso Aleksandr Lyapunov, los exponentes de Lyapunov proporcionan una medida cuantitativa para evaluar la sensibilidad de un sistema a las condiciones iniciales. En esencia, describen qué tan rápido convergen o divergen las trayectorias cercanas en el espacio de fases y, por lo tanto, son esenciales para determinar si un sistema es caótico o no.

Introducción a los sistemas dinámicos

Los sistemas dinámicos son modelos matemáticos utilizados para describir la evolución dependiente del tiempo de un punto en el espacio geométrico. Estos sistemas pueden ser deterministas, gobernados por reglas específicas sin ninguna aleatoriedad, o estocásticos, implicando elementos de azar. En mecánica clásica, a menudo lidiamos con sistemas deterministas donde el estado futuro del sistema está determinado de manera única por su estado actual.

Espacio de fases

El concepto de espacio de fases es fundamental para observar el comportamiento de los sistemas dinámicos. El espacio de fases es un espacio multidimensional donde cada punto representa un estado posible del sistema. Para un sistema mecánico simple como un péndulo con posición x y velocidad v, el espacio de fases es bidimensional, con los ejes representando x y v.

Considera un péndulo descrito por las ecuaciones:

        dx/dt = v
        dv/dt = -g * sin(x) / l

Aquí, g es la aceleración debido a la gravedad y L es la longitud del péndulo. La trayectoria en este espacio de fases muestra cómo evoluciona el péndulo con el tiempo.

Trayectoria

Sensibilidad a las condiciones iniciales

Una de las características de los sistemas caóticos es su sensibilidad a las condiciones iniciales. Un pequeño cambio en el punto de inicio de un sistema puede llevar a resultados muy diferentes. Esta sensibilidad puede identificarse examinando cómo varían las trayectorias cercanas con el tiempo. Aquí es donde los exponentes de Lyapunov entran en foco.

Definición de los exponentes de Lyapunov

Los exponentes de Lyapunov miden las tasas promedio de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas en un sistema dinámico. Hay tantos exponentes de Lyapunov como dimensiones en el espacio de fases. Si alguno de estos exponentes es positivo, generalmente indica un comportamiento caótico, significando que pequeñas diferencias en las condiciones iniciales crecen exponencialmente con el tiempo.

Dado un sistema con un vector de estado x(t), el mayor exponente de Lyapunov λ se define como:

        λ = lim (t -> ∞) [1/t] * ln(||δx(t)|| / ||δx(0)||)

donde δx(0) es una separación inicial pequeña entre las trayectorias y δx(t) es la separación en el tiempo t. Si λ > 0, esto indica una dependencia sensible a las condiciones iniciales, lo cual es característico de los sistemas caóticos.

Visualización de la divergencia

Para entender cómo funcionan los exponentes de Lyapunov, considera dos puntos inicialmente cercanos en un espacio de fases bidimensional simple:

Punto inicial 1 Punto inicial 2 Desviaciones con el tiempo

Los puntos azul y rojo comienzan cerca uno del otro, pero a medida que pasa el tiempo, su distancia aumenta, lo que indica una divergencia. Esta divergencia corresponde a un exponente de Lyapunov positivo a medida que aumenta el tiempo.

Cálculo del exponente de Lyapunov

Calcular el exponente de Lyapunov implica la integración de las ecuaciones dinámicas así como varias ecuaciones que determinan el crecimiento de la perturbación. Los métodos numéricos comúnmente adoptados incluyen:

  • Reortonormalización de Gram–Schmidt: Este método calcula los exponentes ortogonalizando regularmente los vectores tangentes del sistema para prevenir desbordes durante el cálculo.
  • Descomposición QR: Este enfoque utiliza álgebra matricial, dividiendo el espacio de estado mediante descomposición QR para separar las direcciones de expansión de las direcciones de contracción.

La elección del método depende de la dimensionalidad del sistema y los recursos computacionales disponibles.

Ejemplos y aplicaciones

1. Sistema de Lorenz

El sistema de Lorenz es un ejemplo clásico de un sistema caótico descrito por las ecuaciones:

        dx/dt = σ(y – x)
        dy/dt = x(ρ - z) - y
        dz/dt = xy - βz

donde σ, ρ, y β son los parámetros del sistema. Con valores típicos de los parámetros (σ = 10, ρ = 28, β = 8/3), el mayor exponente de Lyapunov es positivo, indicando caos.

2. Sistema de Rössler

Otro ejemplo interesante es el sistema de Rössler:

        dx/dt = -y - z
        dy/dt = x + ay
        dz/dt = b + z(x - c)

Con los parámetros elegidos (a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7), exhibe un comportamiento caótico, lo que se confirma por el exponente de Lyapunov positivo.

Aplicaciones en meteorología

En meteorología, los exponentes de Lyapunov ayudan a comprender la predicción de sistemas meteorológicos. La atmósfera es un sistema no lineal y el clima es extremadamente difícil de predecir debido a su sensibilidad a las condiciones iniciales.

Aplicaciones en mercados financieros

En sistemas financieros, los exponentes de Lyapunov ayudan a analizar la estabilidad de los modelos económicos. Los mercados pueden exhibir un comportamiento caótico y obtener conocimiento sobre su predictibilidad es importante para la gestión de riesgos.

Un ejemplo visual de un sistema caótico

Cálculo del exponente de Lyapunov: Una guía paso a paso

Aquí hay un algoritmo simple para calcular el exponente de Lyapunov para un sistema bidimensional:

  1. Inicia una pequeña perturbación δx(0) en las condiciones iniciales del sistema.
  2. Integra las ecuaciones del sistema y las ecuaciones diferenciales para δx(t).
  3. Calcula la tasa de crecimiento de δx(t).
  4. Toma el logaritmo de la tasa de crecimiento.
  5. Promedia la tasa de crecimiento logarítmica a lo largo del tiempo para encontrar el exponente de Lyapunov.

Conclusión

Los exponentes de Lyapunov son herramientas indispensables en el estudio de la dinámica no lineal y el caos. Proporcionan información sobre el comportamiento de sistemas complejos, ayudando a los físicos a medir el caos y predecir los límites de los sistemas dinámicos. Desde simples sistemas mecánicos hasta modelos climáticos y económicos, la comprensión de estos fenómenos requiere un firme entendimiento de los exponentes de Lyapunov.

La exploración de los exponentes de Lyapunov sigue presentando desafíos y oportunidades para avanzar en nuestro conocimiento de los sistemas dinámicos. Ya sea investigando el movimiento caótico de cuerpos celestes o fluctuaciones impredecibles en mercados financieros, los conocimientos obtenidos de los exponentes de Lyapunov son útiles para modelar y explicar las complejidades de nuestro mundo dinámico.


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Exponente de Lyapunov

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