Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

Pós-graduação → Mecânica clássica → Dinâmica não linear e caos ↓


Expoente de Lyapunov


No campo da dinâmica não linear e da teoria do caos, os expoentes de Lyapunov desempenham um papel fundamental na compreensão do comportamento dos sistemas dinâmicos. Nomeados em homenagem ao matemático russo Aleksandr Lyapunov, os expoentes de Lyapunov fornecem uma medida quantitativa para avaliar a sensibilidade de um sistema às condições iniciais. Essencialmente, eles descrevem a velocidade com que trajetórias próximas no espaço de fases convergem ou divergem e, portanto, são essenciais para determinar se um sistema é caótico ou não.

Introdução aos sistemas dinâmicos

Sistemas dinâmicos são modelos matemáticos usados para descrever a evolução dependente do tempo de um ponto no espaço geométrico. Esses sistemas podem ser determinísticos, regidos por regras específicas sem qualquer aleatoriedade, ou estocásticos, envolvendo elementos de acaso. Na mecânica clássica, lidamos frequentemente com sistemas determinísticos, onde o estado futuro do sistema é determinado de forma única pelo seu estado atual.

Espaço de fases

O conceito de espaço de fases é fundamental para observar o comportamento dos sistemas dinâmicos. O espaço de fases é um espaço multidimensional onde cada ponto representa um estado possível do sistema. Para um sistema mecânico simples, como um pêndulo com posição x e velocidade v, o espaço de fases é bidimensional, com os eixos representando x e v.

Considere um pêndulo descrito pelas equações:

        dx/dt = v
        dv/dt = -g * sin(x) / l

Aqui, g é a aceleração devido à gravidade, e L é o comprimento do pêndulo. A trajetória neste espaço de fases mostra como o pêndulo evolui ao longo do tempo.

Trajetória

Sensibilidade às condições iniciais

Uma das características dos sistemas caóticos é a sensibilidade às condições iniciais. Uma pequena mudança no ponto de partida de um sistema pode levar a resultados muito diferentes. Essa sensibilidade pode ser identificada ao examinar como as trajetórias próximas variam ao longo do tempo. É aqui que os expoentes de Lyapunov entram em foco.

Definição de expoentes de Lyapunov

Os expoentes de Lyapunov medem as taxas médias de separação de trajetórias infinitesimalmente próximas em um sistema dinâmico. Existem tantos expoentes de Lyapunov quanto há dimensões no espaço de fases. Se algum desses expoentes for positivo, isso geralmente indica comportamento caótico, significando que pequenas diferenças nas condições iniciais crescem exponencialmente ao longo do tempo.

Dado um sistema com um vetor de estado x(t), o maior expoente de Lyapunov λ é definido como:

        λ = lim (t -> ∞) [1/t] * ln(||δx(t)|| / ||δx(0)||)

onde δx(0) é uma pequena separação inicial entre as trajetórias e δx(t) é a separação no tempo t. Se λ > 0, isso indica uma dependência sensível das condições iniciais, que é característica de sistemas caóticos.

Visualização da divergência

Para entender como os expoentes de Lyapunov funcionam, considere dois pontos inicialmente próximos em um espaço de fases bidimensional simples:

Ponto inicial 1 Ponto inicial 2 Desvios ao longo do tempo

Os pontos azul e vermelho começam próximos um do outro, mas à medida que o tempo passa, sua distância aumenta, indicando uma divergência. Essa divergência corresponde a um expoente de Lyapunov positivo à medida que o tempo aumenta.

Calculando o expoente de Lyapunov

Calcular o expoente de Lyapunov envolve a integração das equações dinâmicas, bem como várias equações que determinam o crescimento da perturbação. Métodos numéricos comumente adotados incluem:

  • Reortonormalização de Gram–Schmidt: Este método calcula os expoentes ao ortogonalizar regularmente os vetores tangentes do sistema para evitar estouro durante o cálculo.
  • Decomposição QR: Esta abordagem usa álgebra matricial, dividindo o espaço de estados por meio da decomposição QR para separar as direções de expansão das direções de contração.

A escolha do método depende da dimensionalidade do sistema e dos recursos computacionais disponíveis.

Exemplos e aplicações

1. Sistema de Lorenz

O sistema de Lorenz é um exemplo clássico de um sistema caótico descrito pelas equações:

        dx/dt = σ(y – x)
        dy/dt = x(ρ - z) - y
        dz/dt = xy - βz

onde σ, ρ e β são os parâmetros do sistema. Com valores típicos de parâmetro (σ = 10, ρ = 28, β = 8/3), o maior expoente de Lyapunov é positivo, indicando caos.

2. Sistema de Rössler

Outro exemplo interessante é o sistema de Rössler:

        dx/dt = -y - z
        dy/dt = x + ay
        dz/dt = b + z(x - c)

Com os parâmetros escolhidos (a = 0.2, b = 0.2, c = 5.7), ele exibe comportamento caótico, o que é confirmado pelo expoente de Lyapunov positivo.

Aplicações na meteorologia

Na meteorologia, os expoentes de Lyapunov ajudam na compreensão da previsão dos sistemas climáticos. A atmosfera é um sistema não linear, e o clima é extremamente difícil de prever devido à sua sensibilidade às condições iniciais.

Aplicações em mercados financeiros

Nos sistemas financeiros, os expoentes de Lyapunov ajudam a analisar a estabilidade dos modelos econômicos. Os mercados podem apresentar comportamento caótico, e obter uma visão sobre sua previsibilidade é importante para a gestão de riscos.

Um exemplo visual de um sistema caótico

Calculando o Expoente de Lyapunov: Um guia passo-a-passo

Aqui está um algoritmo simples para calcular o expoente de Lyapunov para um sistema bidimensional:

  1. Inicie uma pequena perturbação δx(0) nas condições iniciais do sistema.
  2. Integre as equações do sistema e as equações diferenciais para δx(t).
  3. Calcule a taxa de crescimento de δx(t).
  4. Tome o logaritmo da taxa de crescimento.
  5. Calcule a média da taxa de crescimento logarítmica ao longo do tempo para encontrar o expoente de Lyapunov.

Conclusão

Os expoentes de Lyapunov são ferramentas indispensáveis no estudo da dinâmica não linear e do caos. Eles fornecem uma visão sobre o comportamento dos sistemas complexos, ajudando os físicos a medir o caos e prever os limites dos sistemas dinâmicos. Desde sistemas mecânicos simples até modelos climáticos e econômicos, compreender esses fenômenos requer um firme entendimento dos expoentes de Lyapunov.

A exploração dos expoentes de Lyapunov continua a apresentar desafios e oportunidades para avançar nosso conhecimento sobre sistemas dinâmicos. Seja investigando o movimento caótico de corpos celestes ou flutuações imprevisíveis nos mercados financeiros, os insights adquiridos dos expoentes de Lyapunov são úteis na modelagem e explicação das complexidades do nosso mundo dinâmico.


Pós-graduação → 1.4.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (1.4.3)
Atractores Estranhos e Fractais
Próximo (1.4.5) →
KAM theorem and quasi-periodic motion

Comentários 



Expoente de Lyapunov

https://www.physicsflow.com/g/1.4.4?pfal=pt