Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Dinámica no lineal y caos


La teoría de la dinámica no lineal y del caos se han convertido en marcos importantes para comprender sistemas complejos en mecánica clásica. A diferencia de los sistemas lineales, que obedecen directamente a principios de superposición, los sistemas no lineales tienen interacciones que a menudo resultan en comportamientos impredecibles y complejos. La teoría del caos, una rama dentro de este campo, aborda específicamente cómo pequeños cambios en las condiciones iniciales pueden llevar a resultados muy diferentes, un fenómeno conocido como el "efecto mariposa".

Comprender sistemas lineales vs. no lineales

Primero tratemos de entender qué hace que un sistema sea lineal o no lineal. En el mundo lineal, los sistemas siguen el principio de superposición, lo que significa que la salida es directamente proporcional a la entrada. Las ecuaciones lineales son fáciles de resolver y su comportamiento es generalmente predecible.

Ejemplo de una ecuación lineal: F = ma

En contraste, los sistemas no lineales no obedecen al principio de superposición. Su salida no es proporcional a la entrada y pueden exhibir comportamientos sorprendentes como bifurcaciones, ciclos límite, y, lo que es más importante, caos. Las ecuaciones no lineales a menudo no se pueden resolver analíticamente, lo que requiere métodos numéricos y simulaciones para estudiar su comportamiento.

Ejemplo de una ecuación no lineal: F = kx - cx^3

Sistemas no lineales simples

Para entender la dinámica no lineal un poco mejor, considere un péndulo simple. Cuando los ángulos son pequeños, el péndulo sigue un comportamiento casi lineal con su movimiento, que se describe como:

θ'' + (g/L)θ = 0

Aquí, θ denota el ángulo, g es la aceleración debido a la gravedad, y L es la longitud del péndulo. Sin embargo, cuando los ángulos se vuelven grandes, la aproximación falla y el sistema se vuelve no lineal, que se describe como:

θ'' + (g/L)sin(θ) = 0

Esto aumenta la complejidad de resolver la ecuación y generalmente no hay soluciones cerradas sin simplificaciones.

Introducción a la teoría del caos

La teoría del caos estudia cómo pequeños cambios en las entradas pueden llevar a diferencias significativas en las salidas. Un sistema caótico ideal es el "mapa logístico", que define la dinámica de la población. La ecuación del mapa logístico es:

x_(n+1) = r * x_n * (1 - x_n)

Con diferentes valores de r, el comportamiento del sistema puede cambiar sustancialmente. Por ejemplo, cuando r está entre 3.57 y 4.0, el sistema se comporta de manera caótica exhibiendo una sensible dependencia de las condiciones iniciales.

Bifurcación y duplicación de período

Un aspecto importante de la dinámica no lineal es la bifurcación, donde un pequeño cambio en los parámetros del sistema provoca un cambio repentino 'cualitativo' o topológico en su comportamiento. Antes de que el caos se instale, los sistemas suelen experimentar una serie de bifurcaciones de duplicación de período.

División

Considere nuestro mapa logístico anterior; a medida que r se acerca al límite de 3.57, sufre una bifurcación, resultando en un comportamiento complejo y finalmente caótico.

Ejemplos prácticos de dinámica no lineal y caos

La dinámica no lineal y el caos son frecuentes en varios campos como la meteorología, la ingeniería e incluso la economía. Una manifestación popular en el mundo real son los sistemas climáticos, donde pequeños cambios en las condiciones atmosféricas pueden llevar a enormes diferencias en los patrones climáticos, de ahí la metáfora del efecto mariposa.

Otro ejemplo son los circuitos electrónicos, especialmente los osciladores no lineales, que a menudo exhiben un comportamiento caótico bajo ciertas condiciones. El oscilador de Van der Pol es un ejemplo clásico utilizado en electrónica:

x'' - μ(1 - x^2)x' + x = 0

Guía de la dinámica no lineal

Aunque el caos a menudo parece impredecible, algunas herramientas ayudan a analizar y comprender los sistemas caóticos. Conceptos como atractores extraños, fractales, y exponentes de Lyapunov permiten a los investigadores identificar patrones dentro del caos.

Ejemplo fascinante bizarro

Los exponentes de Lyapunov, en particular, miden cuán rápido las trayectorias divergen, ayudando a medir el caos dentro de un sistema. Los exponentes de Lyapunov positivos indican un comportamiento caótico.

Conclusión

La teoría de la dinámica no lineal y del caos proporciona profundos conocimientos sobre los comportamientos complejos e impredecibles de muchos sistemas físicos. Su estudio permite la exploración de sistemas que parecen aleatorios pero que poseen un orden subyacente. Desde péndulos simples a patrones climáticos, reconocer la presencia de no linealidad y caos es esencial para obtener una comprensión más profunda del mundo físico.


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