Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Dinâmica não linear e caos


A dinâmica não linear e a teoria do caos tornaram-se estruturas importantes para entender sistemas complexos na mecânica clássica. Ao contrário dos sistemas lineares, que obedecem aos princípios de superposição diretamente, os sistemas não lineares têm interações que muitas vezes resultam em comportamentos imprevisíveis e complexos. A teoria do caos, um ramo dentro deste campo, aborda especificamente como pequenas mudanças nas condições iniciais podem levar a resultados muito diferentes, um fenômeno conhecido como o "efeito borboleta".

Entendendo sistemas lineares vs. não lineares

Vamos primeiro descobrir o que torna um sistema linear ou não linear. No mundo linear, os sistemas seguem o princípio da superposição, o que significa que a saída é diretamente proporcional à entrada. As equações lineares são fáceis de resolver e seu comportamento é geralmente previsível.

Exemplo de uma equação linear: F = ma

Em contraste, os sistemas não lineares não obedecem ao princípio da superposição. Sua saída não é proporcional à entrada e podem exibir comportamentos surpreendentes como bifurcações, ciclos limite e, principalmente, caos. As equações não lineares muitas vezes não podem ser resolvidas analiticamente, exigindo métodos numéricos e simulações para estudar seu comportamento.

Exemplo de uma equação não linear: F = kx - cx^3

Sistemas não lineares simples

Para entender um pouco melhor a dinâmica não linear, considere um pêndulo simples. Quando os ângulos são pequenos, o pêndulo segue um comportamento quase linear em seu movimento, que é descrito como:

θ'' + (g/L)θ = 0

Aqui, θ denota o ângulo, g é a aceleração devido à gravidade e L é o comprimento do pêndulo. No entanto, quando os ângulos se tornam grandes, a aproximação falha e o sistema torna-se não linear, que é descrito como:

θ'' + (g/L)sin(θ) = 0

Isso aumenta a complexidade na solução da equação, e soluções de forma fechada geralmente não estão disponíveis sem simplificações.

Introdução à teoria do caos

A teoria do caos estuda como pequenas mudanças nas entradas podem levar a diferenças significativas nas saídas. Um sistema caótico ideal é o "mapa logístico", que define a dinâmica populacional. A equação do mapa logístico é:

x_(n+1) = r * x_n * (1 - x_n)

Com diferentes valores de r, o comportamento do sistema pode mudar substancialmente. Por exemplo, quando r está entre 3,57 e 4,0, o sistema se comporta de maneira caótica, exibindo uma sensibilidade às condições iniciais.

Bifurcação e duplicação de período

Um aspecto importante da dinâmica não linear é a bifurcação, onde uma pequena mudança nos parâmetros do sistema causa uma mudança 'qualitativa' ou topológica repentina em seu comportamento. Antes que o caos se instale, os sistemas geralmente experimentam uma série de bifurcações de duplicação de período.

Divisão

Considere nosso mapa logístico anterior; à medida que r se aproxima do limite de 3,57, ele sofre uma bifurcação, resultando em um comportamento complexo e, por fim, caótico.

Exemplos práticos de dinâmica não linear e caos

A dinâmica não linear e o caos são prevalentes em várias áreas, como meteorologia, engenharia e até economia. Uma manifestação popular no mundo real são os sistemas meteorológicos, onde pequenas mudanças nas condições atmosféricas podem levar a grandes diferenças nos padrões climáticos - daí a metáfora do efeito borboleta.

Outro exemplo são os circuitos eletrônicos, especialmente os osciladores não lineares, que geralmente exibem comportamento caótico sob certas condições. O oscilador de Van der Pol é um exemplo clássico usado em eletrônica:

x'' - μ(1 - x^2)x' + x = 0

Orientação da dinâmica não linear

Embora o caos muitas vezes pareça imprevisível, algumas ferramentas ajudam a analisar e entender sistemas caóticos. Conceitos como atratores estranhos, fractais e expoentes de Lyapunov permitem que os pesquisadores identifiquem padrões dentro do caos.

Exemplo estranho fascinante

Os expoentes de Lyapunov, em particular, medem quão rapidamente as trajetórias divergem, ajudando a medir o caos dentro de um sistema. Expoentes de Lyapunov positivos indicam comportamento caótico.

Conclusão

A dinâmica não linear e a teoria do caos fornecem profundas percepções sobre os comportamentos complexos e imprevisíveis de muitos sistemas físicos. Seu estudo permite a exploração de sistemas que parecem aleatórios, mas possuem uma ordem subjacente. De pêndulos simples a padrões climáticos, reconhecer a presença de não linearidade e caos é essencial para obter uma compreensão mais profunda do mundo físico.


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