Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Função de Green e teoria do potencial


Na eletrodinâmica avançada, as funções de Green e a teoria do potencial desempenham um papel vital na compreensão e solução de diversos problemas eletromagnéticos. Esses conceitos estão profundamente enraizados na física matemática e nos permitem abordar e resolver problemas de valor de contorno de forma eficaz. Aqui, exploraremos esses tópicos com ênfase na clareza, usando linguagem simples e exemplos ilustrativos.

Compreendendo as funções de Green

As funções de Green são ferramentas matemáticas usadas para resolver equações diferenciais. No contexto do eletromagnetismo, elas ajudam a resolver equações diferenciais heterogêneas que descrevem campos elétricos e magnéticos.

Basicamente, a função de Green, G(x, x'), representa a resposta de um sistema a uma fonte pontual. Em eletrostática, ela ajuda a resolver a equação de Poisson:

        ∇²Φ(x) = -ρ(x)/ε₀

Nesta equação, Φ(x) é o potencial elétrico, ρ(x) é a densidade de carga, e ε₀ é a permissividade elétrica do espaço livre. A função de Green satisfaz:

        ∇²G(x, x') = -δ(x - x')

onde δ(x - x') é a função delta de Dirac. O poder da função de Green é evidente ao expressar a solução da equação incompressível:

        Φ(x) = ∫ G(x, x')ρ(x') dx'

Exemplo visual: efeito de fonte pontual

X'g(x, x')

Nesta visualização, uma fonte pontual localizada em x' produz um impacto espalhado representado pela função verde G(x, x'). O círculo vermelho mostra o raio de impacto em outro ponto x.

Uso das funções de Green na eletrodinâmica

A função de Green é amplamente utilizada para resolver problemas eletrostáticos, especialmente aqueles com condições de contorno complexas. Por exemplo, em uma região delimitada, a função de Green deve também satisfazer as condições de contorno do problema.

Suponha um problema em uma cavidade que requer que o potencial em sua superfície seja zero. Aqui, você usaria a função de Green correspondente a esta condição.

Exemplo: Resolva ∇²Φ(x) = 0 para a região dentro de uma casca esférica com raio R e condição de contorno Φ(x) = 0 na superfície.

Teoria do potencial em eletrodinâmica

A teoria do potencial lida com as propriedades e o comportamento dos potenciais. Na eletrodinâmica, esses potenciais são centrais para compreender campos elétricos e magnéticos. Os principais potenciais usados na eletrodinâmica são o potencial escalar, Φ, e o potencial vetorial, A

O potencial escalar está relacionado ao campo elétrico E da seguinte forma:

        e = -∇Φ

O potencial vetorial está relacionado ao campo magnético B da seguinte forma:

        b = ∇ × a

Juntos, Φ e A podem descrever qualquer configuração de campo eletromagnético.

Exemplo visual: Perspectivas em uma área

ICaminho Φ

Nesta ilustração, a linha azul representa as linhas de campo elétrico do potencial escalar, enquanto o caminho verde curvo representa o caminho onde Φ muda.

Resolvendo problemas eletromagnéticos usando funções de Green

Resolver problemas eletromagnéticos frequentemente envolve calcular o potencial de uma distribuição de carga ou corrente dada. Ao usar as funções de Green, você transforma o problema em um de integração, permitindo aplicar diretamente as condições de contorno conhecidas.

Exemplo: Dada a distribuição de carga em um cubo, encontre o potencial elétrico em todos os lugares dentro dele usando uma função de Green adequada.

O processo geral inclui o seguinte:

  • Identifique a equação diferencial que governa o sistema, geralmente a equação de Poisson ou Laplace.
  • Escolha ou derive uma função de Green que acomode as condições de contorno do sistema.
  • Use a função de Green para formular completamente o problema.
  • Realize a integração para encontrar a capacidade.

Conclusão

Em resumo, as funções de Green e a teoria do potencial fornecem estruturas poderosas para tratar problemas complexos no eletromagnetismo. Compreendendo a interação de fontes e campos e usando as ferramentas matemáticas adequadas, podemos obter soluções em uma ampla gama de cenários. Ao aprofundar-se nesses tópicos, você apreciará sua aplicabilidade e beleza na solução de problemas físicos complexos.


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