Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

Posgrado → Electromagnetismo → Electrodinámica Avanzada ↓


Expansión multipolar


En electrodinámica avanzada, la expansión multipolar es una poderosa técnica matemática utilizada para describir la distribución espacial de cargas o corrientes y sus efectos sobre los campos eléctricos y magnéticos. Este método implica expresar el potencial generado por una distribución dada en términos de componentes más simples, llamados momentos multipolares. Esto simplifica el estudio de campos generados por distribuciones complejas, especialmente cuando las observaciones se realizan a grandes distancias. Esta técnica no solo es aplicable en electromagnetismo, sino que también es útil en campos gravitacionales y mecánica cuántica.

Entendiendo los conceptos básicos

Primero, consideremos el potencial V(mathbf{r}) debido a la distribución de carga (rho(mathbf{r'})) La expresión para el potencial eléctrico se da como:

V(mathbf{r}) = frac{1}{4piepsilon_0} int frac{rho(mathbf{r'})}{|mathbf{r} - mathbf{r'}|} d^3r'

Aquí, (mathbf{r}) es el vector de posición del punto donde se está calculando el potencial, y (mathbf{r'}) es el vector de posición dentro de la distribución de carga.

Distancia y aproximación

En muchos escenarios prácticos, estamos interesados en evaluar el potencial en un punto lejos de la distribución de cargas. En tales casos, |mathbf{r}' ll |mathbf{r}| y |mathbf{r} - mathbf{r'}| en potencias de |mathbf{r'}| / |mathbf{r}|:

|mathbf{r} - mathbf{r'}| = sqrt{r^2 - 2mathbf{r} cdot mathbf{r'} + r'^2}

Usando la expansión en serie de Taylor, podemos estimar:

|mathbf{r} - mathbf{r'}| approx r left(1 - frac{mathbf{r} cdot mathbf{r'}}{r^2} + cdots right)

En esta expansión, cada término corresponde a un orden de multipolo diferente.

Momento multipolar

1. Monopolo

El término más simple en la expansión es el término monopolar, el cual corresponde a tratar todas las cargas como si estuvieran concentradas en un solo punto. El momento monopolar es simplemente la carga total Q de la distribución.

Q = int rho(mathbf{r'}) d^3r'

El potencial debido al momento monopolar a una distancia r está dado por:

V_{mon}(mathbf{r}) = frac{Q}{4piepsilon_0 r}

2. Dipolo

El siguiente término es el momento dipolar, que es responsable de la desviación de primer orden del punto de carga. Se define como:

mathbf{p} = int mathbf{r'} rho(mathbf{r'}) d^3r'

El potencial debido al momento dipolar es:

V_{dip}(mathbf{r}) = frac{mathbf{p} cdot mathbf{r}}{4piepsilon_0 r^3}

El momento dipolar es un vector que apunta de la carga negativa a la carga positiva y su magnitud depende de la cantidad de separación.

Representación visual

Unipolar

Por qué Área potencial

Dipolo

-Q +Q D Dipolo

En el diagrama de un dipolo, la carga negativa está en un extremo mientras que la carga positiva está en el extremo opuesto. El vector del momento dipolar se encuentra en la línea que une las cargas, apuntando hacia la carga positiva.

Momento cuadrupolar

El momento cuadrupolar es el siguiente término en la serie. Describe la desviación de segundo orden e involucra dos puntos con cargas opuestas. El tensor cuadrupolar Q_{ij} se define como:

Q_{ij} = int (3x'_i x'_j - r'^2 delta_{ij}) rho(mathbf{r'}) d^3r'

donde delta_{ij} es el delta de Kronecker. Cuando la distribución es simétrica o cuando el punto de observación está muy lejos, el término cuadrupolar se vuelve más importante que el dipolar.

Representación cuadrupolar

-Q +Q +Q -Q Cuadrupolo

Este diagrama muestra una configuración cuadrupolar donde hay cargas negativas y positivas iguales en dos disposiciones perpendiculares. Los efectos del cuadrupolo se vuelven esenciales en campos como la física nuclear y cuerpos astrofísicos.

Momento multipolar superior

Los momentos de orden superior en el octupolo y más allá también pueden calcularse utilizando estrategias similares, involucrando términos más complejos y derivadas superiores. Estos términos se desvanecen rápidamente con la distancia, pero pueden ser importantes para cálculos de alta precisión en algunos descubrimientos científicos.

Aplicaciones de la expansión multipolar

Las expansiones multipolares se utilizan ampliamente en áreas donde la separación espacial entre objetos permite simplificaciones:

  • Campos gravitacionales: Extensiones similares pueden utilizarse para describir potenciales gravitacionales en mecánica celeste, especialmente en el análisis de la estabilidad de órbitas satelitales y la estructura de galaxias.
  • Física molecular: La nube de electrones en una molécula y los campos eléctricos y magnéticos resultantes pueden describirse utilizando multipolos para simplificar cálculos en química cuántica.
  • Teoría de antenas: En el diseño de antenas, el patrón de radiación puede describirse como una expansión multipolar para optimizar las propiedades de emisión direccional.

Conclusión

La expansión multipolar proporciona un enfoque sistemáticamente elegante para abordar problemas complejos en electromagnetismo al descomponer posibles contribuciones en componentes manejables. Su utilidad a través de una variedad de disciplinas subraya su importancia en la comprensión de fenómenos físicos a muchas escalas. A medida que avanza la ciencia, dominar estas técnicas fundamentales sigue siendo crucial para avanzar en la tecnología y mejorar nuestro entendimiento del universo.


Posgrado → 2.1.2


U
username
0%
completado en Posgrado

← Anterior (2.1.1)
Función de Green y teoría del potencial
Siguiente (2.1.3) →
Método de carga de imagen

Comentarios 



Expansión multipolar

https://www.physicsflow.com/g/2.1.2?pfal=es