Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Método de carga de imagen


El método de carga de imagen es una técnica elegante utilizada en electrostática para simplificar el problema de calcular el campo eléctrico y el potencial. Es particularmente útil cuando se trata de condiciones de contorno asociadas con conductores. Este método utiliza el principio de superposición y simetría para simplificar problemas complejos al incluir cargas imaginarias en lugar de límites de conductores.

Concepto básico

La idea básica del método de carga de imagen es reemplazar el conductor con una distribución de cargas ficticias (conocidas como la carga de imagen) para que se satisfagan las condiciones limitantes. El campo real en la región de interés se calcula entonces sin tener que lidiar directamente con la geometría complicada del conductor. Esto resulta en un problema equivalente que a menudo es mucho más fácil de resolver.

Formulación matemática

La formulación matemática del método de carga de imagen implica varios pasos importantes:

  1. Identificar simetrías: Identificar simetrías en el problema que se puedan explotar colocando cargas de imagen.
  2. Colocar cargas de imagen: Determinar la ubicación y magnitud de las cargas de imagen para que el potencial en el límite (superficie del conductor) sea constante (generalmente cero para conductores conectados a tierra).
  3. Calcular el campo eléctrico y el potencial: Usar el principio de superposición para calcular el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto debido a las cargas reales e imaginarias.

Ejemplo simple: carga puntual cerca de una superficie conductora

Considere una carga puntual q colocada a una distancia d por encima de un plano conductor infinito y conectado a tierra. Debemos encontrar el campo eléctrico y el potencial en cualquier punto sobre el plano.

Usando el método de carga de imagen

  1. Colocar una carga de imagen: Se coloca una carga de imagen -q a una distancia d justo debajo del plano, reflejando la carga original. El propósito de la carga de imagen es satisfacer la condición de contorno en el plano (donde el potencial V=0).
  2. Calcular el potencial: El potencial en cualquier punto sobre el plano, debido a la carga real y la carga de imagen, está dado por: 
                V(x, y, z) = frac{1}{4 pi varepsilon_0} left( frac{q}{sqrt{x^2 + y^2 + (zd)^2}} - frac{q}{sqrt{x^2 + y^2 + (z+d)^2}} right)
  3. Calcular el campo eléctrico. El campo eléctrico se puede obtener del potencial usando la siguiente relación: 
                vec{E} = -nabla V
    Calcular vec{E} usando el operador gradiente.

Representación visual

q -q (imagen) plano conductor

¿Por qué usar la carga de imagen?

En algunos casos, el método de carga de imagen es preferido porque puede simplificar enormemente el cálculo del campo eléctrico y el potencial. Puede ser difícil resolver las ecuaciones de Laplace o Poisson directamente, especialmente cuando la geometría es compleja. La carga de imagen reduce el problema a una simple integración de una carga puntual, que es más manejable.

Problemas de ejemplo y aplicaciones

Ejemplo 1: Esfera en lugar de un plano

Ahora considere una carga puntual fuera de una esfera conductora. El método de reflexión se puede usar para determinar el potencial fuera de la esfera reemplazando con una carga de imagen dentro de la esfera.

La carga de imagen y su distancia desde el centro de la esfera se determinan mediante las fórmulas únicas del método para límites esféricos, que requieren un tratamiento matemático especial que involucra técnicas de inversión.

Ejemplo 2: Múltiples cargas puntuales y plano

En escenarios más complejos, como dos cargas cerca de planos ortogonales diferentes, se deben configurar múltiples cargas de imagen. El método se extiende aún más introduciendo múltiples imágenes para cada plano, asegurando que el efecto de cada carga de imagen respete las condiciones de contorno.

Puntos clave a recordar

  • La carga de imagen es imaginaria y no existe físicamente. Es una estructura matemática utilizada para resolver el problema.
  • El principio de superposición es esencial, ya que permite la suma de potenciales debido a cargas reales e imaginarias.
  • Las condiciones de contorno, principalmente las barreras potenciales en los conductores, dictan la ubicación y el valor de las cargas de imagen.
  • Geometrías más complejas pueden requerir el uso de técnicas matemáticas avanzadas aparte de la simple reflexión de cargas.

Limitaciones y consideraciones

El método de carga de imagen no es universalmente aplicable. Funciona mejor con problemas que exhiben un alto grado de simetría. Los límites no simétricos pueden no permitir una colocación de carga de imagen fácil. Además, si bien este método simplifica los cálculos de potenciales, es menos simple para calcular campos eléctricos en escenarios más complejos.

Conclusión

El método de carga de imagen es una herramienta poderosa para resolver problemas que involucran conductores en el campo de la electrostática. Al reducir problemas de límites complejos a distribuciones de carga equivalentes manejables, permite cálculos mucho más simples de potenciales y campos eléctricos.

Comprender el método y sus aplicaciones puede mejorar enormemente las habilidades de resolución de problemas en electrodinámica avanzada. Sin embargo, es importante considerar cuidadosamente sus limitaciones y suposiciones para obtener resultados precisos y significativos.


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