Магистрант
  1. Классическая механика  1.1. Продвинутая кинематика  1.1.1. Обобщенные системы координат  1.1.2. Параметрические уравнения движения  1.1.3. Неинерциальные системы и фиктивные силы  1.1.4. Ковариантная формулировка импульса  1.1.5. Action-angle variable  1.2. Лагранжева и гамильтонова механика  1.2.1. Принцип минимального действия  1.2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа  1.2.3. Теорема Нётер и законы сохранения  1.2.4. Нормализованная скорость  1.2.5. Каноническое преобразование  1.2.6. Скобка Пуассона и теория Гамильтона–Якоби  1.2.7. Гамильтонова хаоса и интегрируемость  1.3. Мобильность жесткого тела  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Principal moments of inertia  1.3.3. Гироскопическое движение и прецессия  1.3.4. Тензор инерции  1.3.5. Стабильность скорости вращения  1.4. Нелинейная динамика и хаос  1.4.1. Phase space and stability analysis  1.4.2. Секции Пуанкаре и теория бифуркации  1.4.3. Странные аттракторы и фракталы  1.4.4. Показатель Ляпунова  1.4.5. Теорема КАМ и квазипериодическое движение
  2. Электромагнетизм  2.1. Advanced Electrodynamics  2.1.1. Функция Грина и теория потенциала  2.1.2. Multipole expansion  2.1.3. Метод заряда изображения  2.1.4. Граничные условия и теорема о единственности  2.2. Распространение электромагнитных волн  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Волноводы и резонаторы  2.2.3. Давление излучения и оптические пинцеты  2.2.4. Поляризация и теорема Джонса  2.3. Релятивистская электродинамика  2.3.1. Covariant formulation of electrodynamics  2.3.2. Потенциалы Лиенара-Вихерта  2.3.3. Синхротронное излучение и тормозное излучение  2.3.4. Тензор электромагнитного поля и преобразования Лоренца  2.4. Физика плазмы  2.4.1. Magnetohydrodynamics  2.4.2. Экранирование Дебая и плазменные колебания  2.4.3. Волны Альфвена и удержание в токамаке  2.4.4. Нестабильности и турбулентность в плазме
  3. Статистическая механика и термодинамика  3.1. Продвинутая термодинамика  3.1.1. Преобразования Лежандра и термодинамические потенциалы  3.1.2. Теорема флуктуаций-диссипации  3.1.3. Онсагерские взаимные отношения  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Квантовая статистическая механика  3.2.1. Density Matrix and Ensemble Theory  3.2.2. Конденсаты Бозе – Эйнштейна  3.2.3. Квантовый фазовый переход  3.2.4. Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна  3.2.5. Функции распределения и большие канонические ансамбли
  4. Квантовая механика  4.1. Углубленная механика волн  4.1.1. Приближение ВКБ  4.1.2. Формулировка с использованием интегралов по путям  4.1.3. Quantum harmonic oscillator and coherent states  4.2. Угловой момент и спин  4.2.1. Сферические Гармоники  4.2.2. Клебш–Гордан коэффициент  4.2.3. Теорема Вигнера–Экарта  4.2.4. Спин-орбитальное взаимодействие  4.3. Теория квантового рассеяния  4.3.1. Приближение Борна  4.3.2. Анализ частичных волн  4.3.3. Оптическая теорема  4.3.4. Теория S-матрицы  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Вторая квантование  4.4.2. Диаграммы Фейнмана и пропагаторы  4.4.3. Теория перенормировки  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса
  5. Общая теория относительности и космология  5.1. Тензорное исчисление и дифференциальная геометрия  5.1.1. Уравнения Эйнштейна  5.1.2. Метрики Шварцшильда и Керра  5.1.3. Геодезия и символы Христоффеля  5.2. Космология и Вселенная  5.2.1. Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и космическая инфляция  5.2.2. Темная энергия и образование структур  5.2.3. Космическое микроволновое фоновое излучение
  6. Физика конденсированного состояния  6.1. Структура зон и теория переноса  6.1.1. Теорема Блоха и модель Кронига-Пенни  6.1.2. Топология поверхности Ферми  6.1.3. Квантовый эффект Холла  6.2. Superconductivity  6.2.1. BCS theory and Cooper pairs  6.2.2. Эффект Мейснера и квантизация потока  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Топологические фазы вещества  6.3.1. Топологические изоляторы  6.3.2. Фермионы Майораны в топологических фазах материи
  7. Nuclear and Particle Physics  7.1. Квантовая хромодинамика (КХД)  7.1.1. Кварк-глюонная плазма  7.1.2. Асимптотическая свобода  7.1.3. Конфайнмент и адронизация  7.2. За пределами Стандартной модели  7.2.1. Великие объединённые теории  7.2.2. Суперсимметрия и дополнительные измерения  7.2.3. Neutrino oscillations

Магистрант → Электромагнетизм → Advanced Electrodynamics ↓


Метод заряда изображения


Метод заряда изображения — это элегантная техника, используемая в электростатике для упрощения задачи расчета электрического поля и потенциала. Он особенно полезен, когда дело касается граничных условий, связанных с проводниками. Этот метод использует принцип суперпозиции и симметрию для упрощения сложных задач путем включения воображаемых зарядов вместо границ проводников.

Основная концепция

Основная идея метода заряда изображения заключается в замене проводника распределением фиктивных зарядов (известных как заряд изображения), чтобы удовлетворить граничные условия. Фактическое поле в интересующей области затем рассчитывается без необходимости непосредственной работы со сложной геометрией проводника. Это приводит к эквивалентной задаче, которую часто намного легче решить.

Математическая формулировка

Математическая формулировка метода заряда изображения включает несколько основных этапов:

  1. Идентифицировать симметрии: Идентифицировать симметрии в задаче, которые можно использовать с помощью размещения зарядов изображения.
  2. Разместить заряды изображения: Определить положение и величину зарядов изображения, чтобы потенциал на границе (поверхности проводника) оставался постоянным (обычно нулевым для заземленных проводников).
  3. Рассчитать электрическое поле и потенциал: Использовать принцип суперпозиции для расчета электрического поля и потенциала в любой точке из-за реальных и изображенных зарядов.

Простой пример: точечный заряд возле поверхности проводника

Рассмотрим точечный заряд q, помещенный на расстояние d над бесконечной заземлённой проводящей плоскостью. Нам нужно найти электрическое поле и потенциал в любой точке над плоскостью.

Использование метода заряда изображения

  1. Разместить заряд изображения: Заряд изображения -q помещается на расстоянии d прямо под плоскостью, отражая первоначальный заряд. Цель заряда изображения – удовлетворить граничное условие на плоскости (где потенциал V=0).
  2. Рассчитать потенциал: Потенциал в любой точке над плоскостью, вызванный реальным зарядом и зарядом изображения, задан следующей формулой: 
                V(x, y, z) = frac{1}{4 pi varepsilon_0} left( frac{q}{sqrt{x^2 + y^2 + (zd)^2}} - frac{q}{sqrt{x^2 + y^2 + (z+d)^2}} right)
  3. Рассчитать электрическое поле. Электрическое поле можно получить из потенциала с использованием следующего отношения: 
                vec{E} = -nabla V
    Рассчитать vec{E} с использованием оператора градиента.

Визуальное представление

q -q (изображение) проводник

Зачем использовать заряд изображения?

В некоторых случаях метод заряда изображения предпочитается, поскольку он может значительно упростить расчет электрического поля и потенциала. Решение уравнений Лапласа или Пуассона напрямую может быть сложным, особенно при сложной геометрии. Заряд изображения сокращает задачу до простой интеграции точечного заряда, что более управляемо.

Примеры задач и применения

Пример 1: Сфера вместо плоскости

Теперь рассмотрим точечный заряд снаружи проводящей сферы. Метод отражения может быть использован для определения потенциала снаружи сферы путем замены заряда изображением внутри сферы.

Заряд изображения и его расстояние от центра сферы определяются уникальными формулами метода для сферических границ, которые требуют специального математического обоснования с использованием методов инверсии.

Пример 2: Несколько точечных зарядов и плоскость

В более сложных сценариях, таких как два заряда возле различных ортогональных плоскостей, необходимо настроить несколько зарядов изображения. Метод дальше расширяется с введением нескольких изображений для каждой плоскости, обеспечивая, чтобы влияние каждого заряда изображения соответствовало граничным условиям.

Ключевые моменты для запоминания

  • Заряд изображения является воображаемым и не существует физически. Это математическая структура, используемая для решения задачи.
  • Принцип суперпозиции имеет решающее значение, так как позволяет суммировать потенциалы от реальных и изображенных зарядов.
  • Граничные условия, главным образом потенциалы на проводниках, определяют расположение и значение зарядов изображения.
  • Более сложные геометрии могут потребовать использования сложных математических методов, помимо простой рефлексии зарядов.

Ограничения и соображения

Метод заряда изображения не является универсальным. Он лучше всего работает с задачами, обладающими высокой степенью симметрии. Несимметричные границы могут не позволить простое размещение зарядов изображения. Кроме того, хотя этот метод упрощает расчеты потенциала, он менее ясен для вычисления электрических полей в более сложных сценариях.

Заключение

Метод заряда изображения — мощный инструмент для решения задач, связанных с проводниками в области электростатики. Путем уменьшения сложности граничных задач до управляемых эквивалентных распределений зарядов, он позволяет значительно упростить расчеты потенциалов и электрических полей.

Понимание метода и его применения может значительно повысить возможности решения задач в области продвинутой электродинамики. Однако важно тщательно учитывать его ограничения и допущения для получения точных и значимых результатов.


Магистрант → 2.1.3


U
username
0%
завершено в Магистрант

← Предыдущий (2.1.2)
Multipole expansion
Следующий (2.1.4) →
Граничные условия и теорема о единственности

Комментарии 



Метод заряда изображения

https://www.physicsflow.com/g/2.1.3?pfal=ru