Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Condiciones de contorno y teorema de unicidad


En electrodinámica avanzada, comprender las condiciones de contorno y los teoremas de unicidad es importante para resolver problemas complejos que involucran campos eléctricos y magnéticos. Estos conceptos permiten a los físicos predecir y analizar el comportamiento de los campos electromagnéticos bajo diversas restricciones y configuraciones.

Introducción a las condiciones de contorno

Las condiciones de contorno son relaciones necesarias que se aplican en la interfaz entre diferentes medios a través de los cuales pasan los campos electromagnéticos. Estas condiciones aseguran que las soluciones a las ecuaciones de Maxwell sean físicamente realizables y consistentes a través de estos límites.

Consideremos algunos tipos comunes de condiciones de contorno en electromagnetismo:

1. Continuidad del componente tangencial del campo eléctrico

En el límite entre dos medios diferentes, el componente tangencial del campo eléctrico debe permanecer constante. Matemáticamente, se expresa como:

E₁t = E₂t

donde (E₁t) y (E₂t) son los componentes tangenciales del campo eléctrico en los medios 1 y 2, respectivamente.

2. Continuidad del componente normal del campo de desplazamiento eléctrico

El componente normal del campo de desplazamiento eléctrico (D) debe satisfacer:

D₁n - D₂n = sigma_f

donde (D₁n) y (D₂n) son los componentes normales del campo de desplazamiento eléctrico en los medios 1 y 2, y (sigma_f) es la densidad de carga superficial libre en el límite.

3. Continuidad del componente tangencial del campo magnético

Para un campo magnético, el componente tangencial debe satisfacer:

H₁t - H₂t = K_f

donde (H₁t) y (H₂t) son los componentes tangenciales del campo magnético en los medios 1 y 2, y (K_f) es la densidad de corriente superficial a través del límite.

4. Continuidad del componente normal del campo magnético

El componente normal del campo magnético (B) debe ser constante:

B₁n = B₂n

donde (B₁n) y (B₂n) son los componentes normales del campo magnético en los medios 1 y 2.

Teorema de unicidad en electrodinámica

Los teoremas de unicidad son importantes en electromagnetismo porque garantizan que las soluciones a los problemas electromagnéticos no solo sean consistentes sino también únicas dadas condiciones de contorno específicas y fuentes dentro del campo. Veamos estos teoremas en detalle:

1. Teorema de unicidad para el campo electrostático

El campo electrostático en el volumen (V) encerrado por la superficie (S) está completamente especificado por la distribución de carga dentro de (V) y el potencial en (S). Si conoces el potencial y la distribución de carga en el límite, la configuración del campo eléctrico es única. Formalmente, este teorema puede expresarse como:

∇²φ = -ρ/ε₀ en V, φ = φ₀ en S

Donde (phi) es el potencial eléctrico, (rho) es la densidad de carga y (epsilon_0) es la permitividad del espacio libre.

2. Teorema de unicidad para un campo magnético constante

De manera similar, el campo magnético dentro de un volumen está completamente determinado por la distribución de corrientes y las condiciones de contorno. Dado que las corrientes son conocidas, la configuración del campo magnético será única.

Matemáticamente, esto puede representarse como la siguiente solución:

∇ × H = J, ∇ ⋅ B = 0

Donde (H) es el campo magnético, (J) es la densidad de corriente y (B) es la densidad de flujo magnético.

Ejemplo visual

Consideremos un ejemplo simple de dos medios dieléctricos separados por un límite. Las condiciones de contorno afectan el comportamiento de los campos eléctricos al pasar de un medio a otro. A continuación se presenta una representación de este escenario.

Medio 1 Medio 2 campo eléctrico

Esta figura muestra dos regiones caracterizadas por diferentes propiedades dieléctricas, donde las condiciones de contorno se aplican al campo eléctrico.

Ejemplos textuales

Imagina que tienes un cubo con diferentes potenciales eléctricos dentro, y condiciones de contorno dadas en la superficie del cubo. Según el teorema de unicidad, para una distribución de carga especificada dentro del cubo y un potencial conocido en la superficie, la solución del campo eléctrico está determinada de manera única.

Problema de ejemplo: Supongamos que tienes una esfera metálica con radio (R) y carga (Q). Determina el campo eléctrico fuera y dentro de la esfera.

Fuera de la esfera (r > R): E = (1/(4πε₀)) * (Q/r²) Dentro de la esfera (r ≤ R): E = 0

Este ejemplo destaca cómo las condiciones de contorno y las distribuciones de carga determinan de manera única la configuración del campo eléctrico.

Conclusión

Las condiciones de contorno y los principios de unicidad proporcionan el marco necesario para resolver problemas electromagnéticos de manera rigurosa y sistemática. Al asegurar que las soluciones de las ecuaciones de Maxwell sean únicas y cumplan con los requisitos físicos en los límites, estos principios forman la base del poder predictivo en el electromagnetismo.


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Condiciones de contorno y teorema de unicidad

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