Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Condições de contorno e teorema de unicidade


Na eletrodinâmica avançada, compreender as condições de contorno e os teoremas de unicidade é importante para resolver problemas complexos envolvendo campos elétricos e magnéticos. Esses conceitos permitem que os físicos prevejam e analisem o comportamento dos campos eletromagnéticos sob várias restrições e configurações.

Introdução às condições de contorno

As condições de contorno são relações necessárias aplicadas na interface entre diferentes meios através dos quais os campos eletromagnéticos passam. Essas condições garantem que as soluções das equações de Maxwell sejam fisicamente realizáveis e consistentes através dessas fronteiras.

Vamos considerar alguns tipos comuns de condições de contorno no eletromagnetismo:

1. Continuidade do componente tangencial do campo elétrico

Na fronteira entre dois meios diferentes, o componente tangencial do campo elétrico deve permanecer constante. Matematicamente, é expresso como:

E₁t = E₂t

onde (E₁t) e (E₂t) são os componentes tangenciais do campo elétrico nos meios 1 e 2, respectivamente.

2. Continuidade do componente normal do campo de deslocamento elétrico

O componente normal do campo de deslocamento elétrico (D) deve satisfazer:

D₁n - D₂n = sigma_f

onde (D₁n) e (D₂n) são os componentes normais do campo de deslocamento elétrico nos meios 1 e 2, e (sigma_f) é a densidade de carga de superfície livre na fronteira.

3. Continuidade do componente tangencial do campo magnético

Para um campo magnético, o componente tangencial deve satisfazer:

H₁t - H₂t = K_f

onde (H₁t) e (H₂t) são os componentes tangenciais do campo magnético nos meios 1 e 2, e (K_f) é a densidade de corrente de superfície através da fronteira.

4. Continuidade do componente normal do campo magnético

O componente normal do campo magnético (B) deve ser constante:

B₁n = B₂n

onde (B₁n) e (B₂n) são os componentes normais do campo magnético nos meios 1 e 2.

Teorema de unicidade em eletrodinâmica

Os teoremas de unicidade são importantes no eletromagnetismo porque garantem que as soluções dos problemas eletromagnéticos não sejam apenas consistentes, mas também únicas, dadas condições de contorno específicas e fontes dentro do campo. Vamos analisar esses teoremas em detalhe:

1. Teorema de unicidade para o campo eletrostático

O campo eletrostático no volume (V) encerrado pela superfície (S) é completamente especificado pela distribuição de carga dentro de (V) e o potencial em (S). Se você conhece o potencial e a distribuição de carga na fronteira, a configuração do campo elétrico é única. Formalmente, este teorema pode ser expresso como:

∇²φ = -ρ/ε₀ in V, φ = φ₀ on S

Onde (phi) é o potencial elétrico, (rho) é a densidade de carga e (epsilon_0) é a permissividade do espaço livre.

2. Teorema de unicidade para um campo magnético constante

Da mesma forma, o campo magnético dentro de um volume é completamente determinado pela distribuição de corrente e condições de contorno. Dado que as correntes são conhecidas, a configuração do campo magnético será única.

Matematicamente, isso pode ser representado como a seguinte solução:

∇ × H = J, ∇ ⋅ B = 0

Onde (H) é o campo magnético, (J) é a densidade de corrente e (B) é a densidade de fluxo magnético.

Exemplo visual

Considere um exemplo simples de dois meios dielétricos separados por uma fronteira. As condições de contorno afetam o comportamento dos campos elétricos ao transitar de um meio para outro. Abaixo está uma representação deste cenário.

Meio 1 Meio 2 campo elétrico

Esta figura mostra duas regiões caracterizadas por diferentes propriedades dielétricas, onde as condições de contorno se aplicam ao campo elétrico.

Exemplos textuais

Imagine que você tem um cubo com diferentes potenciais elétricos no interior e condições de contorno dadas na superfície do cubo. De acordo com o teorema de unicidade, para uma distribuição de carga especificada dentro do cubo e um potencial conhecido na superfície, a solução do campo elétrico é unicamente determinada.

Problema de exemplo: Suponha que você tenha uma esfera metálica com raio (R) e carga (Q). Determine o campo elétrico fora e dentro da esfera.

Fora da esfera (r > R): E = (1/(4πε₀)) * (Q/r²) Dentro da esfera (r ≤ R): E = 0

Este exemplo destaca como as condições de contorno e distribuições de carga determinam unicamente a configuração do campo elétrico.

Conclusão

As condições de contorno e os princípios de unicidade fornecem o arcabouço necessário para resolver problemas eletromagnéticos de forma rigorosa e sistemática. Ao garantir que as soluções das equações de Maxwell sejam únicas e satisfaçam os requisitos físicos nas fronteiras, esses princípios formam a base do poder preditivo no eletromagnetismo.


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Condições de contorno e teorema de unicidade

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