Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Formulación covariante de la electrodinámica


La formulación covariante de la electrodinámica es un marco poderoso que unifica los campos eléctricos y magnéticos en un solo objeto matemático de tal manera que se vuelve fácil aplicar la teoría de la relatividad especial de Einstein al electromagnetismo. Esta formulación es importante para la física moderna porque incorpora sin problemas los efectos de la relatividad, simplificando las leyes del electromagnetismo y haciéndolas consistentes con el movimiento a velocidades relativistas.

Antecedentes y fundamentos

Para entender la formulación covariante, primero uno debe familiarizarse con los cuatro vectores y tensores, así como con las ecuaciones de Maxwell, que son la base de la electrodinámica clásica. En la relatividad especial, el tiempo y el espacio se consideran al mismo nivel y los eventos se describen utilizando vectores de cuatro dimensiones llamados cuatro-vectores:

x^μ = (ct, x, y, z)

donde c es la velocidad de la luz, t es el tiempo, y (x, y, z) son las coordenadas espaciales. Aquí, μ toma los índices 0, 1, 2, 3.

El tensor métrico de Minkowski η μν se utiliza para calcular el producto escalar de cuatro-vectores:

η μν = diag(-1, 1, 1, 1)

Con esta configuración, el intervalo invariante s² se da por:

s² = -c²t² + x² + y² + z²

Permaneciendo invariante bajo transformaciones de Lorentz, asegurando que las leyes de la física se vean iguales en todos los marcos inerciales.

Ecuaciones de Maxwell

En la visión clásica, las ecuaciones de Maxwell describen cómo los campos eléctricos y magnéticos se propagan e interactúan con la materia. En un vacío, son:

∇ · E = ρ/ε₀ (1)
∇ × B - (1/c²) ∂E/∂t = μ₀j (2)
∇ · B = 0 (3)
∇ × E + ∂B/∂t = 0 (4)

En estas ecuaciones, E es el campo eléctrico, y B es el campo magnético. ρ representa la densidad de carga, j representa la densidad de corriente, ε₀ representa la permitividad del espacio libre, y μ₀ representa la permeabilidad del espacio libre.

Tensor de campo electromagnético

La formulación covariante organiza los campos eléctricos y magnéticos en una sola entidad matemática conocida como el tensor de campo electromagnético, F μν. Este es un tensor antisimétrico de rango 2 dado como:

F μν = | 0 −Eₓ −Eᵧ −E𝓏 |
| Eₓ 0 −B𝓏 Bᵧ |
| Eᵧ B𝓏 0 −Bₓ |
| E𝓏 −Bᵧ Bₓ 0 |

Este tensor conecta campos a través de relaciones simples y hermosas, y respeta automáticamente los principios de la relatividad. Aquí, Fμν está relacionado tanto con E como con B de la siguiente manera:

E = Componentes horizontales de la fila del espacio
B = Componentes verticales de la columna del espacio

El aspecto hermoso del tensor de campo electromagnético es su propiedad de transformación. Bajo transformaciones de Lorentz, este tensor se transforma según:

F'ⁿ μν = Λ α ₘ Λ β ₙ F αβ

donde Λ es la matriz de transformación de Lorentz, lo que asegura que las leyes electromagnéticas retengan su forma en cada marco de referencia inercial.

Forma covariante de las ecuaciones de Maxwell

Los campos electromagnéticos dictan cómo se mueven las cargas y viceversa. Esta interacción se puede resumir escribiendo las ecuaciones de Maxwell en términos del tensor de campo electromagnético y la corriente-cuatro, Jμ:

J μ = (cρ, jₓ, jᵧ, j𝓏)

La ecuación de Maxwell covariante se expresa brevemente de la siguiente manera:

∂ μ F μν = μ₀ J ν (Ecuación Inhomogénea)
∂ [σ F μν] = 0 (Ecuación Homogénea)

La ecuación heterogénea corresponde a las ecuaciones (1) y (2), mientras que la ecuación homogénea corresponde a las ecuaciones (3) y (4) en la forma clásica. Aquí, ∂ μ es el operador de cuatro-gradient.

Interpretación geométrica

Profundicemos en una visualización para entender la naturaleza geométrica de estas ecuaciones. Imagina los campos electromagnéticos como objetos geométricos en el espacio-tiempo, donde las líneas de campo forman patrones distintos que representan los componentes del tensor de campo. Aquí hay una representación simplificada de cómo los campos eléctricos (azul) y magnéticos (rojo) podrían interactuar:

Fuente

La intersección en el centro representa el punto de interacción, donde los campos eléctricos y magnéticos convergen, mostrando cómo F μν incorpora ambos tipos de campos.

Aplicaciones de la formulación covariante

Con el enfoque covariante, resolver problemas en electrodinámica se vuelve más sencillo, especialmente al analizar sistemas de cargas en movimiento o campos en diferentes marcos. Por ejemplo, considera una partícula cargada que se mueve a velocidades relativistas. Rastrear su dinámica requiere transformar su efecto electromagnético entre marcos estacionarios y en movimiento, una tarea que se simplifica mediante ecuaciones de tensor compactas.

Tensor de energía-momento

La energía y el momento llevados por los campos electromagnéticos están contenidos en el tensor de energía-momento, T μν. Se da por:

T μν = F μα F ν α - (1/4) η μν F αβ F αβ

La divergencia de este tensor da información sobre la conservación de energía y momento en procesos electromagnéticos. En resumen:

∂ μ T μν = 0

Demuestra la conservación en campos y materia, y arroja luz sobre cómo los campos electromagnéticos almacenan y transportan energía y momentum.

Problema de ejemplo

Considera una partícula cargada que crea un campo eléctrico radial en reposo. Supongamos que comienza a moverse a velocidad constante. Utilizando las propiedades de transformación del tensor electromagnético, determina la nueva configuración de campo en el marco de reposo de la partícula y su nuevo marco.

  1. Identifica los componentes del tensor de campo, F μν, en el marco de relajación.
  2. Aplica la transformación de Lorentz, Λ, para calcular F' μν en el nuevo marco de referencia.
  3. Analiza los campos transformados para obtener los campos eléctricos y magnéticos observados en el marco en movimiento.

Este ejercicio demuestra la belleza de la formulación covariante, que permite un análisis sin fallas de dinámicas complejas.

Conclusión

La formulación covariante de la electrodinámica proporciona un enfoque altamente eficiente y unificado para entender y aplicar teorías del electromagnetismo consistentes con la relatividad especial. Al expresar los campos eléctricos y magnéticos como componentes del tensor de campo electromagnético y usar una forma compacta y cuadrimensional de las ecuaciones de Maxwell, los físicos pueden resolver de manera más eficiente y precisa problemas complejos que involucran movimiento relativista.

Este marco no solo cumple con los principios relativistas que subyacen en la estructura del universo, sino que también mejora nuestra capacidad de detectar y comprender fenómenos de alta energía, como los que se encuentran en la física de partículas y la cosmología. Por lo tanto, la formulación covariante es indispensable tanto en la física teórica como en la aplicada, reforzando el poder predictivo y descriptivo del legado de Maxwell.


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