Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Formulação covariante da eletrodinâmica


A formulação covariante da eletrodinâmica é uma estrutura poderosa que unifica campos elétricos e magnéticos em um único objeto matemático de modo que se torna fácil aplicar a teoria da relatividade restrita de Einstein ao eletromagnetismo. Esta formulação é importante para a física moderna porque incorpora de forma adequada os efeitos da relatividade, simplificando as leis do eletromagnetismo e tornando-as consistentes com o movimento em velocidades relativísticas.

Fundamentos e introdução

Para entender a formulação covariante, é necessário primeiro familiarizar-se com quatro vetores e tensores, bem como as equações de Maxwell, que são a base da eletrodinâmica clássica. Na relatividade especial, tempo e espaço são considerados no mesmo nível, e eventos são descritos usando vetores quadridimensionais chamados de quatro-vetores:

x^μ = (ct, x, y, z)

onde c é a velocidade da luz, t é o tempo, e (x, y, z) são coordenadas espaciais. Aqui, μ assume os índices 0, 1, 2, 3.

O tensor métrico de Minkowski η μν é usado para calcular o produto escalar de quatro-vetores:

η μν = diag(-1, 1, 1, 1)

Com essa configuração, o intervalo invariante s² é dado por:

s² = -c²t² + x² + y² + z²

Permanece invariante sob transformações de Lorentz, garantindo que as leis da física pareçam as mesmas em todos os referenciais inerciais.

Equações de Maxwell

Na visão clássica, as equações de Maxwell descrevem como campos elétricos e magnéticos se propagam e interagem com a matéria. No vácuo, são elas:

∇ · E = ρ/ε₀ (1)
∇ × B - (1/c²) ∂E/∂t = μ₀j (2)
∇ · B = 0 (3)
∇ × E + ∂B/∂t = 0 (4)

Nestas equações, E é o campo elétrico, e B é o campo magnético. ρ representa a densidade de carga, j representa a densidade de corrente, ε₀ representa a permissividade do espaço livre, e μ₀ representa a permeabilidade do espaço livre.

Tensor do campo eletromagnético

A formulação covariante organiza os campos elétrico e magnético em uma única entidade matemática conhecida como o tensor do campo eletromagnético, F μν. Este é um tensor de posto 2 antissimétrico dado por:

F μν = | 0 −Eₓ −Eᵧ −E𝓏 |
| Eₓ 0 −B𝓏 Bᵧ |
| Eᵧ B𝓏 0 −Bₓ |
| E𝓏 −Bᵧ Bₓ 0 |

Este tensor conecta campos por meio de relações simples e elegantes, respeitando automaticamente os princípios da relatividade. Aqui, Fμν está relacionado tanto a E quanto a B da seguinte forma:

E = Componentes horizontais da Linha do Espaço
B = Componentes verticais da Coluna do Espaço

O aspecto elegante do tensor do campo eletromagnético é sua propriedade de transformação. Sob transformações de Lorentz, este tensor se transforma de acordo com:

F'ⁿ μν = Λ α ₘ Λ β ₙ F αβ

onde Λ é a matriz de transformação de Lorentz, que garante que as leis eletromagnéticas mantenham sua forma em cada referencial inercial.

Forma covariante das equações de Maxwell

Campos eletromagnéticos ditam como as cargas se movem e vice-versa. Esta interação pode ser resumida escrevendo as equações de Maxwell em termos do tensor do campo eletromagnético e da quatro-corrente, Jμ:

J μ = (cρ, jₓ, jᵧ, j𝓏)

A equação covariante de Maxwell é brevemente expressa como segue:

∂ μ F μν = μ₀ J ν (Equação Heterogênea)
∂ [σ F μν] = 0 (Equação Homogênea)

A equação heterogênea corresponde às equações (1) e (2), enquanto a equação homogênea corresponde às equações (3) e (4) na forma clássica. Aqui, ∂ μ é o operador de quatro-gradiente.

Interpretação geométrica

Vamos nos aprofundar em uma visualização para entender a natureza geométrica dessas equações. Imagine campos eletromagnéticos como objetos geométricos no espaçotempo, onde linhas de campo formam padrões distintos representando os componentes do tensor de campo. Aqui está uma representação simplificada de como campos elétricos (azul) e magnéticos (vermelho) podem interagir:

Fonte

A interseção no centro representa o ponto de interação, onde os campos elétrico e magnético convergem, mostrando como F μν incorpora ambos os tipos de campos.

Aplicações da formulação covariante

Com a abordagem covariante, resolver problemas em eletrodinâmica torna-se mais simples, especialmente ao analisar sistemas de cargas em movimento ou campos em diferentes quadros. Por exemplo, considere uma partícula carregada movendo-se a velocidades relativísticas. Rastrear sua dinâmica requer transformar seu efeito eletromagnético entre quadros estacionário e em movimento — uma tarefa que é simplificada por equações de tensor compactas.

Tensor energia-momento

A energia e o momento transportados por campos eletromagnéticos estão contidos no tensor energia-momento, T μν. É dada por:

T μν = F μα F ν α - (1/4) η μν F αβ F αβ

A divergência deste tensor fornece informações sobre a conservação de energia e momento em processos eletromagnéticos. Em resumo:

∂ μ T μν = 0

Demonstrar conservação em campos e matéria, e evidencia como campos eletromagnéticos armazenam e transportam energia e momento.

Exemplo de problema

Considere uma partícula carregada que cria um campo elétrico radial em repouso. Suponha que ela comece a se mover a velocidade constante. Usando as propriedades de transformação do tensor eletromagnético, determine a nova configuração de campo no quadro de repouso da partícula e em seu novo quadro.

  1. Identificar os componentes do tensor de campo, F μν, no quadro de relaxamento.
  2. Aplicar a transformação de Lorentz, Λ, para calcular F' μν no novo referencial.
  3. Analisar os campos transformados para obter os campos elétrico e magnético observados no quadro em movimento.

Este exercício demonstra a beleza da formulação covariante, que permite uma análise contínua de dinâmicas complexas.

Conclusão

A formulação covariante da eletrodinâmica oferece uma abordagem altamente eficiente e unificada para entender e aplicar teorias do eletromagnetismo consistentes com a relatividade especial. Ao expressar campos elétricos e magnéticos como componentes do tensor do campo eletromagnético e utilizando uma forma compacta e quadridimensional das equações de Maxwell, os físicos podem resolver problemas complexos de maneira mais eficiente e precisa envolvendo movimento relativístico.

Essa estrutura não só está em conformidade com os princípios relativísticos subjacentes à estrutura do universo, mas também aprimora nossa capacidade de detectar e compreender fenômenos de alta energia, como aqueles encontrados na física de partículas e cosmologia. Assim, a formulação covariante é indispensável tanto na física teórica quanto na aplicada, reforçando o poder preditivo e descritivo do legado de Maxwell.


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