Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Potenciales de Liénard–Wiechert


El electromagnetismo ocupa un lugar fundamental en el vasto tejido de la física. Cuando el estudio de las cargas y corrientes se combina con los principios de la relatividad, surgen formulaciones intrigantes y complejas. Una de estas formulaciones en el campo de la electrodinámica relativista es el concepto de "potencial de Liénard-Wiechert". Estos potenciales describen el efecto electromagnético de una carga en movimiento, incorporando los principios de causalidad y la velocidad finita de la luz.

Introducción al potencial en electrodinámica

En la electrodinámica clásica, los potenciales son estructuras matemáticas a partir de las cuales se pueden derivar los campos electromagnéticos. Estos potenciales, a saber, los potenciales escalares (Φ) y los potenciales vectoriales (A), juegan un papel importante en facilitar el cálculo de campos eléctricos (E) y magnéticos (B).

Ecuación básica

El campo eléctrico E y el campo magnético B pueden expresarse en términos de estos potenciales de la siguiente manera:

E = -∇Φ - ∂A/∂t 
B = ∇ × A

Aquí, ∇ es el operador gradiente, ∇ × A denota el rotacional de A, y ∂ denota diferenciación parcial. Estas ecuaciones describen cómo los cambios en los potenciales afectan los campos resultantes.

El concepto de potenciales de Liénard–Wiechert

Cuando se trata de cargas puntuales en movimiento, se debe tener en cuenta el retraso causado por la velocidad finita a la que viaja la información electromagnética: la velocidad de la luz, denotada por c. Los potenciales de Liénard-Wiechert proporcionan una solución elegante a este problema. Nombrados en honor a Alfred-Marie Liénard y Emil Wiechert, estos potenciales abarcan el efecto de una carga puntual en movimiento en el campo electromagnético en un punto dado en el espacio y en el tiempo.

Formulación del potencial de Lienard–Wiechert

Las expresiones para el potencial de Lienard–Wiechert para una carga en movimiento son las siguientes:

Φ(r, t) = (q / (4πε₀)) * (1 / (1 - (v·n)/c)) * (1 / |r - r₀|) 
A(r, t) = (q / (4πε₀c)) * (v / (1 - (v·n)/c)) * (1 / |r - r₀|)

En estas expresiones, varias palabras son importantes:

  • q: carga de la partícula en movimiento.
  • v: velocidad de la carga.
  • n: vector unitario en la dirección del punto del campo relativo a la posición instantánea de la carga.
  • c: velocidad de la luz.
  • r y r₀: vectores de posición del punto de campo y la carga, respectivamente.
  • ε₀: permisividad del espacio libre.

Los términos 1/(1 - (v·n)/c) son importantes porque representan la distorsión de los campos debido a los efectos relativistas, en particular el movimiento relativo de las cargas.

Explicación del tiempo retrasado

El potencial de Liénard–Wiechert se evalúa en un tiempo llamado "tiempo retardado", t' ret, que es el tiempo durante el cual el efecto electromagnético se propaga desde la carga hasta el punto de campo. Este tiempo se define explícitamente como:

t' = t - |r - r₀(t')|/c

Esta expresión indica que el efecto del movimiento de la carga en t' ret debe evaluarse teniendo en cuenta el tiempo de retraso que tarda la señal electromagnética en viajar la distancia entre la posición de la carga y el punto de campo.

Ejemplo visual

La relación geométrica entre la posición de la carga, su velocidad y el punto de campo se puede ver en el siguiente ejemplo:

r₀(t') R |r - r₀(t')|

En esta ilustración, el punto azul representa la posición de la carga en el tiempo retrasado t' ret, mientras que el punto rojo representa el punto en el campo. La línea discontinua representa el camino que recorre el efecto electromagnético.

Ejemplos de aplicación

Campo eléctrico de una carga en movimiento

El campo eléctrico producido por una carga puntual en movimiento se puede obtener del potencial de Liénard-Wiechert. Este campo eléctrico está compuesto por dos componentes principales: el "campo de Coulomb" (que se asemeja al campo de una carga estacionaria) y el "campo de radiación" (que refleja la naturaleza variable en el tiempo del movimiento de la carga). El campo eléctrico se puede expresar de la siguiente manera:

E = q/(4πε₀) * [(n - n·v/c) / (γ²(1 - n·v/c)³) + n × ((n - v/c) × a) / c²(1 - n·v/c)³]

En esta expresión:

  • a representa la aceleración de la carga.
  • γ es el factor de Lorentz, γ = 1/√(1 - v²/c²).

Patrón de radiación

La radiación emitida por cargas en movimiento se puede analizar utilizando estas expresiones. La emisión de radiación electromagnética es una característica de las cargas aceleradas. Los potenciales de Liénard-Wiechert permiten a los físicos predecir cómo se propaga la radiación en el espacio, ayudando a comprender fenómenos naturales y aplicaciones tecnológicas como antenas y sistemas de comunicación inalámbrica.

Conclusión

Los potenciales de Liénard-Wiechert ejemplifican cómo el electromagnetismo clásico se adapta y evoluciona bajo las exigencias rigurosas de la relatividad. Combinando cálculo vectorial, teorías relativistas y teoría electromagnética, estos potenciales forman un puente que abarca el reino de las cargas en movimiento, los efectos con retraso temporal y las interacciones de campo.

En un mundo donde la relatividad tiene un papel destacado, como en el movimiento de partículas cerca de la velocidad de la luz y en los sistemas de comunicación avanzados, la aplicabilidad de los potenciales de Liénard-Wiechert sigue proporcionando ideas importantes y soluciones indispensables. El descubrimiento de estos potenciales no solo profundiza nuestra comprensión de los fenómenos electromagnéticos, sino que también mejora nuestra capacidad para innovar dentro del marco de la física moderna.


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