Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Potenciais de Liénard–Wiechert


O eletromagnetismo ocupa um lugar fundamental na vasta trama da física. Quando o estudo de cargas e correntes é combinado com os princípios da relatividade, surgem formulações intrigantes e complexas. Uma dessas formulações no campo da eletrodinâmica relativística é o conceito de "potencial de Liénard-Wiechert". Esses potenciais descrevem o efeito eletromagnético de uma carga em movimento, incorporando os princípios de causalidade e a velocidade finita da luz.

Introdução ao potencial na eletrodinâmica

Na eletrodinâmica clássica, os potenciais são estruturas matemáticas a partir das quais os campos eletromagnéticos podem ser derivados. Esses potenciais – a saber, potenciais escalares (Φ) e potenciais vetoriais (A) – desempenham um papel importante na facilitação do cálculo de campos elétricos (E) e magnéticos (B).

Equação básica

O campo elétrico E e o campo magnético B podem ser expressos em termos desses potenciais da seguinte forma:

E = -∇Φ - ∂A/∂t 
B = ∇ × A

Aqui, ∇ é o operador gradiente, ∇ × A denota o rotacional de A, e ∂ denota diferenciação parcial. Essas equações descrevem como as mudanças nos potenciais afetam os campos resultantes.

O conceito de potenciais de Liénard–Wiechert

Ao lidar com cargas pontuais em movimento, deve-se levar em conta o atraso causado pela velocidade finita em que a informação eletromagnética viaja – a velocidade da luz, denotada por c. Os potenciais de Liénard-Wiechert fornecem uma solução elegante para este problema. Nomeados em homenagem a Alfred-Marie Liénard e Emil Wiechert, esses potenciais abrangem o efeito de uma carga pontual em movimento no campo eletromagnético em um dado ponto no espaço e no tempo.

Formulação do potencial de Liénard–Wiechert

As expressões para o potencial de Liénard–Wiechert para uma carga em movimento são as seguintes:

Φ(r, t) = (q / (4πε₀)) * (1 / (1 - (v·n)/c)) * (1 / |r - r₀|) 
A(r, t) = (q / (4πε₀c)) * (v / (1 - (v·n)/c)) * (1 / |r - r₀|)

Nessas expressões, várias palavras são importantes:

  • q: carga da partícula em movimento.
  • v: velocidade da carga.
  • n: vetor unitário na direção do ponto de campo em relação à posição instantânea da carga.
  • c: velocidade da luz.
  • r e r₀: vetores de posição do ponto de campo e da carga respectivamente.
  • ε₀: permissividade do espaço livre.

Os termos 1/(1 - (v·n)/c) são importantes porque representam a distorção dos campos devido a efeitos relativísticos, em particular o movimento relativo das cargas.

Explicação do tempo retardado

O potencial de Liénard–Wiechert é avaliado em um tempo chamado de "tempo retardado", t' ret, que é o tempo sobre o qual o efeito eletromagnético se propaga da carga para o ponto do campo. Este tempo é definido explicitamente como:

t' = t - |r - r₀(t')|/c

Esta expressão indica que o efeito do movimento da carga em t' ret deve ser avaliado levando em consideração o atraso de tempo necessário para que o sinal eletromagnético percorra a distância entre a posição da carga e o ponto do campo.

Exemplo visual

A relação geométrica entre a posição da carga, sua velocidade e o ponto de campo pode ser vista no exemplo a seguir:

r₀(t') R |r - r₀(t')|

Nesta ilustração, o ponto azul representa a posição da carga no tempo retardado t' ret, enquanto o ponto vermelho representa o ponto no campo. A linha tracejada representa o caminho que o efeito eletromagnético percorre.

Exemplos de aplicação

Campo elétrico de uma carga em movimento

O campo elétrico produzido por uma carga pontual em movimento pode ser obtido a partir do potencial de Liénard-Wiechert. Este campo elétrico é composto por dois componentes principais: o "campo de Coulomb" (que se assemelha ao campo de uma carga estacionária) e o "campo de radiação" (que reflete a natureza variável no tempo do movimento da carga). O campo elétrico pode ser dado da seguinte forma:

E = q/(4πε₀) * [(n - n·v/c) / (γ²(1 - n·v/c)³) + n × ((n - v/c) × a) / c²(1 - n·v/c)³]

Nesta expressão:

  • a representa a aceleração da carga.
  • γ é o fator de Lorentz, γ = 1/√(1 - v²/c²).

Padrão de radiação

A radiação emitida por cargas em movimento pode ser analisada usando estas expressões. A emissão de radiação eletromagnética é uma característica marcante das cargas em aceleração. Os potenciais de Liénard-Wiechert permitem que os físicos prevejam como a radiação se propaga no espaço, ajudando a entender fenômenos naturais e aplicações tecnológicas, como antenas e sistemas de comunicação sem fio.

Conclusão

Os potenciais de Liénard-Wiechert exemplificam como o eletromagnetismo clássico se adapta e evolui sob as rigorosas exigências da relatividade. Combinando cálculo vetorial, teorias relativísticas e teoria eletromagnética, esses potenciais formam uma ponte que abrange o domínio das cargas em movimento, efeitos retardados no tempo e interações de campo.

Em um mundo onde a relatividade figura de forma proeminente, como no movimento de partículas próximas à velocidade da luz e em sistemas de comunicação avançados, a aplicabilidade dos potenciais de Liénard-Wiechert continua a fornecer insights importantes e soluções indispensáveis. A descoberta desses potenciais não apenas aprofunda nosso entendimento dos fenômenos eletromagnéticos, mas também aprimora nossa capacidade de inovar dentro do marco da física moderna.


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