Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz


En el campo de la electrodinámica relativista, es importante entender el tensor de campo electromagnético y las transformaciones de Lorentz. Estos conceptos conectan maravillosamente el electromagnetismo y la relatividad especial, y proporcionan una profunda comprensión de cómo cambian los campos eléctricos y magnéticos cuando nos movemos entre diferentes marcos de referencia inerciales.

Introducción al tensor de campo electromagnético

El tensor de campo electromagnético es una representación matemática que abarca tanto los campos eléctricos como magnéticos dentro de un solo objeto. En el lenguaje de los tensores, esto permite una descripción concisa y eficiente de los campos electromagnéticos, lo cual es particularmente útil al tratar con transformaciones relativistas.

El tensor de campo electromagnético, generalmente denotado como ( F^{munu} ), es una matriz antisimétrica de 4x4 construida a partir de los componentes del campo eléctrico ( mathbf{E} ) y el campo magnético ( mathbf{B} ). Los componentes de este tensor en un marco inercial dado pueden expresarse como:

F^{munu} = begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \ E_z/c & B_y & -B_x & 0 end{pmatrix}

Explicación de los componentes

Cada componente del tensor representa una parte del campo eléctrico o magnético:

  • F^{0i} = -E_i / c donde i = 1, 2, 3 corresponde a los componentes del campo eléctrico medidos por la velocidad de la luz c .
  • F^{ij} = epsilon^{ijk} B_k donde epsilon^{ijk} es el símbolo de Levi-Civita, que representa los componentes del campo magnético.

Transformaciones de Lorentz

Las transformaciones de Lorentz describen cómo cambian las mediciones de espacio y tiempo para observadores en diferentes marcos inerciales. Cuando se aplican al tensor de campo electromagnético, estas transformaciones muestran cómo los campos eléctricos y magnéticos observados en un marco están relacionados con aquellos en otro marco, que se mueve a una velocidad constante relativa al primero.

Ecuaciones de transformación

Si consideramos un observador en el marco S y otro observador en el marco S' moviéndose con velocidad constante (v) relativa a S, entonces la transformación para el tensor de campo electromagnético es:

F'^{munu} = Lambda^{mu}_{ alpha} Lambda^{nu}_{ beta} F^{alphabeta}

Aquí, ( Lambda^{mu}_{ alpha} ) son los componentes de la matriz de transformación de Lorentz.

Visualización de los componentes del campo

Consideremos un caso simple en el que la transformación ocurre a lo largo del eje x. En este caso, la matriz de transformación de Lorentz es:

Lambda^{mu}_{ nu} = begin{pmatrix} gamma & -betagamma & 0 & 0 \ -betagamma & gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

Donde ( beta = v/c ) y ( gamma = 1/sqrt{1-beta^2} ).

Al aplicar la transformación de Lorentz, se puede ver cómo se mezclan los componentes del campo eléctrico y magnético:

E'_x = E_x E'_y = gamma ( E_y - vB_z ) E'_z = gamma ( E_z + vB_y ) B'_x = B_x B'_y = gamma ( B_y + vE_z / c^2 ) B'_z = gamma ( B_z - vE_y / c^2 )

Ejemplo: Cambio de campos

Supongamos que tenemos campos eléctricos y magnéticos en el marco S dados como ( mathbf{E} = (0, E_y, 0) ) y ( mathbf{B} = (0, 0, B_z) ). Si un observador en el marco S' se mueve con velocidad v a lo largo del eje x, entonces los campos transformados según las fórmulas anteriores son:

E'_x = 0 E'_y = gamma ( E_y - vB_z ) E'_z = 0 B'_x = 0 B'_y = gamma ( vE_y / c^2 ) B'_z = gamma B_z

Esta transformación muestra que los campos eléctricos y magnéticos no son entidades separadas en diferentes marcos de referencia. En cambio, son componentes de un campo electromagnético unificado que intercambia estos roles bajo movimiento relativista.

Representación gráfica

Consideremos la siguiente ilustración. Representamos el campo eléctrico con flechas azules y el campo magnético con flechas rojas. Dejemos que el marco original S esté representado como:

<!-- Ejemplo SVG --> <svg width="400" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="200" y1="50" x2="200" y2="100" style="stroke:blue;stroke-width:2" /> <!-- E_y --> <line x1="300" y1="100" x2="350" y2="100" style="stroke:red;stroke-width:2" /> <!-- B_z --> </svg>

Después de la transformación de Lorentz, los campos eléctricos y magnéticos pueden realinearse, mostrando su interdependencia. Imagine que esta transformación dobla sutilmente los campos eléctricos y amplifica los campos magnéticos:

<!-- SVG transformado --> <svg width="400" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="180" y1="50" x2="220" y2="110" style="stroke:blue;stroke-width:2" /> <!-- E'_y --> <line x1="320" y1="90" x2="360" y2="110" style="stroke:red;stroke-width:2" /> <!-- B'_z --> </svg>

Por qué importa

Esta comprensión más profunda de las transformaciones de campo relativistas es importante porque muestra cómo nuestra percepción de los campos eléctricos y magnéticos cambia con velocidades a fracciones significativas de la velocidad de la luz. El punto clave es que el electromagnetismo y la relatividad están intrínsecamente vinculados; no se puede comprender completamente uno sin el otro en un contexto relativista.

Conclusión

En resumen, el tensor de campo electromagnético proporciona un marco unificado para considerar campos eléctricos y magnéticos bajo transformaciones de Lorentz. Demuestra la belleza y consistencia de las leyes de la física cuando se ven desde diferentes marcos inerciales y proporciona profundos conocimientos sobre la naturaleza de la realidad en un universo relativista. Al analizar estas transformaciones, los físicos obtienen una capacidad más profunda para optimizar y predecir fenómenos electromagnéticos en diferentes escenarios y marcos de referencia.


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