Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz


No campo da eletrodinâmica relativística, é importante entender o tensor de campo eletromagnético e as transformações de Lorentz. Esses conceitos preenchem lindamente a lacuna entre eletromagnetismo e relatividade especial e fornecem uma visão profunda de como os campos elétrico e magnético mudam quando nos movemos entre diferentes quadros de referência inerciais.

Introdução ao tensor de campo eletromagnético

O tensor de campo eletromagnético é uma representação matemática que engloba tanto os campos elétrico quanto magnético em um único objeto. Na linguagem dos tensores, isso permite uma descrição concisa e eficiente dos campos eletromagnéticos, o que é particularmente útil ao lidar com transformações relativísticas.

O tensor de campo eletromagnético, geralmente denotado como ( F^{munu} ), é uma matriz antissimétrica 4x4 construída a partir dos componentes do campo elétrico ( mathbf{E} ) e do campo magnético ( mathbf{B} ). Os componentes desse tensor em um dado quadro inercial podem ser expressos como:

F^{munu} = begin{pmatrix} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \ E_x/c & 0 & B_z & -B_y \ E_y/c & -B_z & 0 & B_x \ E_z/c & B_y & -B_x & 0 end{pmatrix}

Explicação dos componentes

Cada componente do tensor representa uma parte do campo elétrico ou magnético:

  • F^{0i} = -E_i / c onde i = 1, 2, 3 correspondem aos componentes do campo elétrico medidos pela velocidade da luz c .
  • F^{ij} = epsilon^{ijk} B_k onde epsilon^{ijk} é o símbolo de Levi-Civita, que representa os componentes do campo magnético.

Transformações de Lorentz

As transformações de Lorentz descrevem como as medições de espaço e tempo mudam para observadores em diferentes quadros inerciais. Quando aplicadas ao tensor de campo eletromagnético, essas transformações mostram como os campos elétrico e magnético observados em um quadro estão relacionados àqueles em outro quadro, que se move a uma velocidade constante em relação ao primeiro.

Equações de transformação

Se considerarmos um observador no quadro S e outro observador no quadro S' movendo-se com velocidade constante (v) em relação a S, então a transformação para o tensor de campo eletromagnético é:

F'^{munu} = Lambda^{mu}_{ alpha} Lambda^{nu}_{ beta} F^{alphabeta}

Aqui, ( Lambda^{mu}_{ alpha} ) são os componentes da matriz de transformação de Lorentz.

Visualizando componentes do campo

Vamos considerar um caso simples em que a transformação ocorre ao longo do eixo x. Nesse caso, a matriz de transformação de Lorentz é:

Lambda^{mu}_{ nu} = begin{pmatrix} gamma & -betagamma & 0 & 0 \ -betagamma & gamma & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 end{pmatrix}

Onde ( beta = v/c ) e ( gamma = 1/sqrt{1-beta^2} ).

Aplicando a transformação de Lorentz, você pode ver como os componentes dos campos elétrico e magnético se misturam:

E'_x = E_x E'_y = gamma ( E_y - vB_z ) E'_z = gamma ( E_z + vB_y ) B'_x = B_x B'_y = gamma ( B_y + vE_z / c^2 ) B'_z = gamma ( B_z - vE_y / c^2 )

Exemplo: Mudança de campos

Suponha que tenhamos campos elétrico e magnético no quadro S dados por ( mathbf{E} = (0, E_y, 0) ) e ( mathbf{B} = (0, 0, B_z) ). Se um observador no quadro S' estiver se movendo com velocidade v ao longo do eixo x, então os campos transformados de acordo com as fórmulas acima são:

E'_x = 0 E'_y = gamma ( E_y - vB_z ) E'_z = 0 B'_x = 0 B'_y = gamma ( vE_y / c^2 ) B'_z = gamma B_z

Essa transformação mostra que os campos elétrico e magnético não são entidades separadas em diferentes quadros de referência. Em vez disso, são componentes de um campo eletromagnético unificado que alterna esses papéis sob movimento relativístico.

Representação gráfica

Considere a seguinte ilustração. Representamos o campo elétrico com setas azuis e o campo magnético com setas vermelhas. Deixe o quadro original S ser representado como:

<!-- Example SVG --> <svg width="400" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="200" y1="50" x2="200" y2="100" style="stroke:blue;stroke-width:2" /> <!-- E_y --> <line x1="300" y1="100" x2="350" y2="100" style="stroke:red;stroke-width:2" /> <!-- B_z --> </svg>

Após a transformação de Lorentz, os campos elétrico e magnético podem se realinhar, mostrando sua interdependência. Imagine que essa transformação dobrou sutilmente os campos elétricos e amplificou os campos magnéticos:

<!-- Transformed SVG --> <svg width="400" height="200" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"> <line x1="180" y1="50" x2="220" y2="110" style="stroke:blue;stroke-width:2" /> <!-- E'_y --> <line x1="320" y1="90" x2="360" y2="110" style="stroke:red;stroke-width:2" /> <!-- B'_z --> </svg>

Por que é importante

Essa compreensão mais profunda das transformações de campo relativísticas é importante porque mostra como nossa percepção dos campos elétrico e magnético muda com velocidades em frações significativas da velocidade da luz. O ponto chave é que o eletromagnetismo e a relatividade estão intrinsecamente ligados; você não pode entender completamente um sem o outro em um contexto relativístico.

Conclusão

Em suma, o tensor de campo eletromagnético fornece uma estrutura unificada para considerar campos elétricos e magnéticos sob transformações de Lorentz. Ele demonstra a beleza e a consistência das leis da física quando vistas de diferentes quadros inerciais e fornece profundas percepções sobre a natureza da realidade em um universo relativístico. Ao analisar essas transformações, os físicos ganham uma capacidade mais profunda de otimizar e prever fenômenos eletromagnéticos em diferentes cenários e quadros de referência.


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Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz

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