Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Electrodinámica relativista


La electrodinámica relativista es una teoría que combina los principios del electromagnetismo con las nociones fundamentales de la relatividad especial. Proporciona un marco para entender cómo los campos eléctricos y magnéticos se comportan en diversos marcos de referencia inerciales que se mueven a velocidades cercanas a la velocidad de la luz.

Fundamentos de la electrodinámica

En el núcleo de la electrodinámica se encuentran las ecuaciones de Maxwell, que gobiernan el comportamiento de los campos eléctricos y magnéticos. En su forma tradicional, estas ecuaciones son:

∇⋅E = ρ/ε₀ ∇⋅B = 0 ∇×E = -∂B/∂t ∇×B = μ₀J + μ₀ε₀∂E/∂t

Aquí, E y B son los campos eléctricos y magnéticos, respectivamente, ρ es la densidad de carga eléctrica, J es la densidad de corriente, ε₀ es la permitividad del vacío, y μ₀ es la permitividad del vacío.

La relatividad especial y su impacto en la física

La teoría de la relatividad especial de Albert Einstein introdujo nuevos conceptos en la física, notablemente las ideas de que las leyes de la física son las mismas en todos los marcos inerciales, y que la velocidad de la luz es constante independientemente del movimiento del observador.

Básicamente, la electrodinámica relativista es una extensión de la noción de que los campos eléctricos y magnéticos no son entidades separadas, sino dos aspectos del mismo fenómeno físico. Se transforman entre sí cuando se observan desde diferentes marcos de referencia.

Transformaciones de Lorentz

Centrales para la relatividad especial, y por ende para la electrodinámica relativista, son las transformaciones de Lorentz, que relacionan las coordenadas espaciales y temporales de eventos medidos en diferentes marcos inerciales.

x' = γ(x - vt) y' = y z' = z t' = γ(t - vx/c²) γ = 1/√(1 - v²/c²)

Aquí, v es la velocidad relativa entre los dos marcos, c es la velocidad de la luz, y γ es el factor de Lorentz. Las transformaciones de Lorentz muestran cómo las mediciones de tiempo y espacio por dos observadores están interrelacionadas por su movimiento relativo.

Relatividad de la simultaneidad

Una consecuencia de la relatividad especial es la relatividad de la simultaneidad, que sostiene que dos eventos que parecen simultáneos en un marco inercial no pueden ser simultáneos en otro marco que se mueva de forma relativa al primero.

Ejemplo usando la transformación de Lorentz

Supongamos que dos eventos ocurren simultáneamente en las posiciones x₁ y x₂ en el marco S, de modo que t₁ = t₂. En el marco S' que se mueve con velocidad v con respecto a S, sus coordenadas de tiempo son:

t₁' = γ(t₁ - vx₁/c²) t₂' = γ(t₂ - vx₂/c²)

Aunque t₁ = t₂, más generalmente t₁' ≠ t₂'. Esto muestra que la simultaneidad no es absoluta, sino que depende del marco de referencia del observador.

Cuatro-vector y formulación covariante

En relatividad, a menudo es útil describir cantidades físicas usando cuatro-vectores, que integran componentes espaciales y temporales. Por ejemplo, la cuatro-posición se define como:

X = (ct, x, y, z)

Por consiguiente, la cuatro-velocidad U es:

U = dX/dτ = γ(c, vₓ, vᵧ, v_z)

donde τ es el tiempo propio. Este marco se extiende al campo electromagnético, que se describe usando el tensor de campo electromagnético F

Tensor de campo electromagnético

El tensor de campo electromagnético es una estructura matemática que representa los campos eléctricos y magnéticos de forma concisa. Es un tensor antisimétrico cuyos componentes se definen como sigue:

F^μν = | 0 -Eₓ -Eᵧ -E_z | | Eₓ 0 -B_z Bᵧ | | Eᵧ B_z 0 -Bₓ | | E_z -Bᵧ Bₓ 0 |

Usando este tensor, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir explícitamente en forma covariante, proporcionando información explícita sobre su invariancia bajo transformaciones de Lorentz.

Forma covariante de las ecuaciones de Maxwell

Usando el tensor de campo, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir como dos ecuaciones tensoriales:

∂_ν F^μν = μ₀J^μ ∂_σ F^μν + ∂_μ F^νσ + ∂_ν F^σμ = 0

Aquí, J^μ es la densidad de cuatro-corrientes, que incluye tanto las densidades de carga como de corriente. Estas ecuaciones resumen el comportamiento de los campos electromagnéticos en una forma que sigue siendo válida en diferentes marcos inerciales.

Fuerza electromagnética en relatividad

La fuerza que actúa sobre una partícula cargada moviéndose en un campo electromagnético se da por la forma relativista de la ley de la fuerza de Lorentz:

f^μ = q F^μν U_ν

donde f^μ es el cuaternión, q es la carga de la partícula, F^μν es el tensor de campo electromagnético, y U_ν es la velocidad cuaternión de la partícula.

Variación de los campos eléctricos y magnéticos

Para entender cómo los campos eléctricos y magnéticos se transforman entre diferentes marcos, consideremos dos marcos inerciales S y S', donde S' se mueve con velocidad v relativa a S a lo largo del eje x.

Eₓ' = Eₓ Eᵧ' = γ(Eᵧ - vB_z) E_z' = γ(E_z + vBᵧ) Bₓ' = Bₓ Bᵧ' = γ(Bᵧ + (v/c²)E_z) B_z' = γ(B_z - (v/c²)Eᵧ)

Muestra cómo los campos eléctricos y magnéticos se mezclan bajo la transformación de Lorentz y enfatiza la naturaleza unificada de los campos electromagnéticos.

Representación visual de cambios en campos eléctricos y magnéticos

Región-E Región-B

En el diagrama anterior, se ven círculos concéntricos que representan las líneas de campo eléctrico y una línea perpendicular que representa el campo magnético. Esto ayuda a visualizar cómo la dirección e intensidad de los campos cambian cuando se transforman a otro marco inercial.

Campo de una carga en movimiento

Los campos eléctricos y magnéticos producidos por una carga puntual q que se mueve con velocidad constante v se describen como:

E(r, t) = (q/4πε₀) (1 - v²/c²) / [(r - vt)² (1 - (v²/c²)sin²θ)^(3/2)] B = (1/c²) v × E

Aquí, θ es el ángulo entre el vector de posición r y el vector de velocidad v. Estas ecuaciones deslumbran cómo el movimiento afecta el tamaño y la fuerza de los campos.

Conclusión

La electrodinámica relativista es un pilar de la física moderna, combinando el electromagnetismo clásico y la relatividad especial. Esta amalgama no sólo resuelve dilemas conceptuales que existen a altas velocidades, sino que también sienta las bases para teorías posteriores como la electrodinámica cuántica.


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