Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos


Introducción

Las transformadas de Legendre y los potenciales termodinámicos son conceptos importantes en el estudio de la termodinámica avanzada, particularmente dentro de la mecánica estadística. Estas herramientas matemáticas permiten transformaciones entre diferentes conjuntos de variables, proporcionando una comprensión más profunda de varios procesos termodinámicos. Los potenciales termodinámicos ofrecen una visión del comportamiento de los sistemas, especialmente cuando ocurren transformaciones a volumen, temperatura, presión o potencial químico constantes.

Comprensión de las transformadas de Legendre

Las transformadas de Legendre son técnicas matemáticas usadas para cambiar de un conjunto de variables a otro en problemas de optimización. Llevan el nombre del matemático Adrien-Marie Legendre. En el contexto de la termodinámica, estas transformaciones permiten la conversión entre diferentes potenciales termodinámicos.

Considere una función f(x). La transformada de Legendre de esta función con respecto a x se define como:

    l(y) = x*y - f(x)

Aquí, y es la derivada de f relativa a x; y = df(x)/dx. La nueva función L(y) ahora utiliza y como la variable independiente en lugar de x.

Ejemplo visual de las transformadas de Legendre

Supongamos que tenemos una curva que representa la función f(x). Para visualizar la transformada de Legendre, imagine dibujar tangentes en diferentes puntos a lo largo de esta curva. Cada tangente puede ser representada por su pendiente e intersección en y. La colección de estos puntos tangentes se puede usar para crear la transformada de Legendre.

Ejemplos en la física

Considere la energía interna U(S, V), donde S es la entropía y V es el volumen. La forma diferencial se da como:

    dU = TDS - PDV

Aquí, T es la temperatura y P es la presión. Usando la transformada de Legendre, podemos definir nuevos potenciales, como la energía libre de Helmholtz F y la energía libre de Gibbs G

Eficiencia termodinámica

Los potenciales termodinámicos son propiedades o funciones de estado que se utilizan para medir la energía "libre" dentro de un sistema. Ayudan a describir la energía disponible para realizar trabajo en diversas situaciones. Los principales potenciales termodinámicos son:

  • Energía interna U
  • Energía libre de Helmholtz F = U - TS
  • Energía libre de Gibbs G = U - TS + PV
  • Entalpía H = U + PV

Energía interna

La energía interna U es la energía total presente en un sistema. Considera tanto la energía potencial como la cinética a nivel microscópico. El cambio en la energía interna se representa mediante la ecuación:

    dU = TDS - PDV

Esta forma diferencial muestra cómo cambia la energía interna con respecto a la entropía y el volumen.

Energía libre de Helmholtz

La energía libre de Helmholtz F es particularmente útil al tratar con sistemas a temperatura y volumen constantes. Se define como:

    F = U – TS

La energía libre de Helmholtz indica el máximo trabajo que se puede obtener de un sistema cerrado a volumen constante.

Energía libre de Gibbs

La energía libre de Gibbs G se utiliza a menudo en reacciones químicas y procesos que ocurren a presión y temperatura constantes. Se da como:

    G = U – TS + PV

La energía libre de Gibbs mide el trabajo útil máximo que se puede obtener de un sistema cerrado.

Entalpía

La entalpía H es una medida del contenido total de calor en un sistema. Es esencial para comprender los procesos de transferencia de calor y se define como:

    H = U + PV

La entalpía es particularmente útil para sistemas que experimentan procesos a presión constante.

Aplicaciones en termodinámica

Los potenciales termodinámicos son importantes para predecir y entender los estados de equilibrio de varios sistemas termodinámicos.

Ejemplo 1: Energía libre de Gibbs en reacciones químicas

La energía libre de Gibbs ayuda a determinar si una reacción química procederá de manera espontánea o no. Un cambio negativo en la energía libre de Gibbs (ΔG < 0) indica una reacción espontánea, mientras que un cambio positivo (ΔG > 0) indica no espontaneidad.

Ejemplo 2: Entalpía en un cambio de fase

La entalpía juega un papel importante en la comprensión de los cambios de fase, como la fusión y la ebullición. Durante estos procesos, la presión permanece constante, lo que hace que la entalpía sea una cantidad esencial para evaluar la transferencia de calor.

Visualización del potencial termodinámico

Energía Interna (U) Energía libre de Helmholtz (F) Energía libre de Gibbs (G) Entalpía (H)

Conclusión

Las transformadas de Legendre y los potenciales termodinámicos son herramientas poderosas para explorar y comprender varios procesos y sistemas termodinámicos. Ofrecen la flexibilidad de cambiar entre diferentes variables termodinámicas, proporcionando conocimientos esclarecedores sobre el comportamiento subyacente de los materiales y las reacciones bajo diferentes condiciones.


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