Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos


Introdução

Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos são conceitos importantes no estudo da termodinâmica avançada, particularmente dentro da mecânica estatística. Essas ferramentas matemáticas permitem transformações entre diferentes conjuntos de variáveis, proporcionando uma compreensão mais profunda de vários processos termodinâmicos. Potenciais termodinâmicos fornecem insights sobre o comportamento de sistemas, especialmente quando transformações ocorrem a volume, temperatura, pressão ou potencial químico constantes.

Compreendendo as transformadas de Legendre

Transformadas de Legendre são técnicas matemáticas usadas para alternar entre um conjunto de variáveis e outro em problemas de otimização. Elas são nomeadas em homenagem ao matemático Adrien-Marie Legendre. No contexto da termodinâmica, essas transformações permitem a conversão entre diferentes potenciais termodinâmicos.

Considere uma função f(x). A transformada de Legendre dessa função em relação a x é definida como:

    l(y) = x*y - f(x)

Aqui, y é a derivada de f em relação a x; y = df(x)/dx. A nova função L(y) agora utiliza y como a variável independente em vez de x.

Exemplo visual de transformadas de Legendre

Suponha que temos uma curva que representa a função f(x). Para visualizar a transformada de Legendre, imagine desenhar tangentes em diferentes pontos ao longo dessa curva. Cada tangente pode ser representada por sua inclinação e intercepto y. A coleção desses pontos tangentes pode então ser usada para criar a transformada de Legendre.

Exemplos na física

Considere a energia interna U(S, V), onde S é a entropia e V é o volume. A forma diferencial é dada como:

    dU = TDS - PDV

Aqui, T é a temperatura e P é a pressão. Usando a transformada de Legendre, podemos definir novos potenciais, como a energia livre de Helmholtz F e a energia livre de Gibbs G

Eficiência termodinâmica

Potenciais termodinâmicos são propriedades ou funções de estado que são usadas para medir a energia "livre" dentro de um sistema. Eles ajudam a descrever a energia disponível para fazer trabalho em várias situações. Os principais potenciais termodinâmicos são:

  • Energia interna U
  • Energia livre de Helmholtz F = U - TS
  • Energia livre de Gibbs G = U - TS + PV
  • Entalpia H = U + PV

Energia interna

Energia interna U é a energia total presente em um sistema. Ela leva em conta tanto a energia potencial quanto a cinética em nível microscópico. A mudança na energia interna é representada pela equação:

    dU = TDS - PDV

Esta forma diferencial mostra como a energia interna muda em relação à entropia e ao volume.

Energia livre de Helmholtz

A energia livre de Helmholtz F é particularmente útil ao lidar com sistemas a temperatura e volume constantes. Ela é definida como:

    F = U – TS

A energia livre de Helmholtz indica o máximo trabalho que pode ser obtido de um sistema fechado a volume constante.

Energia livre de Gibbs

A energia livre de Gibbs G é frequentemente usada em reações químicas e processos que ocorrem a pressão e temperatura constantes. Ela é dada como:

    G = U – TS + PV

A energia livre de Gibbs mede o máximo trabalho útil que pode ser obtido de um sistema fechado.

Entalpia

Entalpia H é uma medida do conteúdo total de calor em um sistema. É essencial para entender processos de transferência de calor e é definida como:

    H = U + PV

Entalpia é particularmente útil para sistemas que passam por processos de pressão constante.

Aplicações na termodinâmica

Potenciais termodinâmicos são importantes para prever e entender os estados de equilíbrio de vários sistemas termodinâmicos.

Exemplo 1: Energia livre de Gibbs em reações químicas

A energia livre de Gibbs ajuda a determinar se uma reação química irá ocorrer espontaneamente ou não. Uma mudança negativa na energia livre de Gibbs (ΔG < 0) indica uma reação espontânea, enquanto uma mudança positiva (ΔG > 0) indica não espontaneidade.

Exemplo 2: Entalpia em uma mudança de fase

Entalpia desempenha um papel importante na compreensão de mudanças de fase, como fusão e ebulição. Durante esses processos, a pressão permanece constante, tornando a entalpia uma quantidade essencial para avaliar a transferência de calor.

Visualização de potencial termodinâmico

Energia Interna (U) Energia livre de Helmholtz (F) Energia livre de Gibbs (G) Entalpia (H)

Conclusão

Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos são ferramentas poderosas para explorar e entender vários processos e sistemas termodinâmicos. Elas oferecem a flexibilidade de alternar entre diferentes variáveis termodinâmicas, proporcionando insights perspicazes sobre o comportamento subjacente de materiais e reações em diferentes condições.


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Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos

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