Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Teorema de fluctuación-disipación


El teorema de fluctuación-disipación (FDT) es un principio fundamental en la mecánica estadística y la termodinámica. Establece una profunda conexión entre las fluctuaciones aleatorias en un sistema en equilibrio térmico y su respuesta a perturbaciones externas. Esta conexión es integral para vincular la física microscópica con fenómenos macroscópicos, proporcionando un puente desde interacciones detalladas a nivel atómico hasta respuestas observables en los sistemas.

Conceptos básicos

Desglosemos el teorema de fluctuación-disipación paso a paso para comprender sus principales aspectos. En su esencia, el teorema puede expresarse de la siguiente manera: La respuesta de un sistema en equilibrio termodinámico a una pequeña perturbación externa puede predecirse a partir de las propiedades del sistema y la forma en que fluctúa cuando no está perturbado.

Esta afirmación puede parecer abstracta, así que usemos una analogía para aclarar estos conceptos de manera más intuitiva. Imagina un estanque de agua perfectamente tranquila. Si lanzas una pequeña piedra en el estanque, se crean olas que se propagan hacia afuera. Incluso en estado de calma, las moléculas de agua están en movimiento constante, realizando movimientos pequeños y aleatorios o fluctuaciones debido a la energía térmica. Las olas representan la disipación de energía introducida por la perturbación de la piedra.

piedras en el estanque

Ahora, considera un sistema físico como una barra de metal. Incluso en reposo, los átomos en la barra están en movimiento constante, vibrando e interactuando mediante fuerzas electromagnéticas. Estas fluctuaciones no son obvias a simple vista, pero son muy reales y están sujetas a movimiento térmico gobernado por la temperatura del entorno.

Formulación matemática

El teorema de fluctuación-disipación puede expresarse matemáticamente usando funciones de correlación y funciones de respuesta. Introduzcamos los términos necesarios:

  • Función de correlación: Esta función, usualmente escrita como C(t), describe cómo las desviaciones de una variable particular de su valor medio se correlacionan a lo largo del tiempo.
  • Función de respuesta: A menudo denotada R(t), mide el cambio en una cantidad observable en respuesta a una perturbación externa.

Para la teoría de respuesta lineal, la relación entre estas funciones se expresa como:

R(t) = -Theta(t) frac{dC(t)}{dt}
R(t) = -Theta(t) frac{dC(t)}{dt}

Aquí, Theta(t) es la función escalón de Heaviside, que asegura la causalidad, significando que la respuesta en cualquier momento depende solo de perturbaciones aplicadas en el pasado, no en el futuro.

Ejemplo práctico

Ejemplo 1: Ruido eléctrico en resistencias

Un ejemplo clásico del teorema de fluctuación-disipación es el ruido Johnson-Nyquist en circuitos eléctricos. Considera una resistencia en un circuito. Debido a la agitación térmica de los portadores de carga (electrones), ocurre una pequeña fluctuación de voltaje a través de la resistencia incluso cuando no se aplica corriente. Según el FDT, el espectro de este ruido de voltaje está directamente relacionado con la resistencia del material y su temperatura.

S_v(f) = 4k_B TR
S_v(f) = 4k_B TR

Aquí, S_v(f) es la densidad espectral de potencia del ruido de voltaje, k_B es la constante de Boltzmann, T es la temperatura absoluta, y R es la resistencia eléctrica. La ecuación muestra cómo el ruido (fluctuaciones) en un circuito puede dar información sobre las características (disipación) de una resistencia.

Ejemplo 2: Movimiento browniano

Otro gran ejemplo puede verse en el movimiento browniano, que es el movimiento aleatorio de partículas suspendidas en un fluido. Considera una partícula microscópica suspendida en un fluido. La partícula experimenta impactos aleatorios de las moléculas del fluido, causando que se mueva aleatoriamente.

El momento se caracteriza por la constante de propagación D, y a través de la relación de Einstein para la propagación y la movilidad, tenemos:

D = mu k_B T
D = mu k_B T

Esto muestra que la dispersión (fluctuación) de la partícula está relacionada con la movilidad (respuesta a fuerzas) y la temperatura, demostrando el FDT.

Visualizando los altibajos

partículas brownianas

En el ejemplo visual anterior, el pequeño rectángulo simboliza una partícula browniana que se mueve debido a los efectos invisibles de las moléculas del fluido.

Relación con el equilibrio termodinámico

Para que el teorema de fluctuación-disipación se aplique, el sistema debe estar en equilibrio termodinámico. En tales situaciones, se aplican el equilibrio detallado y la simetría de inversión temporal. Estas condiciones aseguran que las propiedades derivadas de las fluctuaciones también describirán cómo el sistema responde a influencias externas.

Supongamos que un gas se mantiene en una cámara sellada. Cuando una variable, como la presión, se cambia momentáneamente, regresa al equilibrio. La forma en que regresa al estado estable refleja sus características de disipación.

Más allá de las respuestas lineales

Si bien el FDT clásico aborda las respuestas lineales, cerca del equilibrio de los sistemas, se han desarrollado extensiones para situaciones no lineales y lejos del equilibrio. Estas teorías extendidas continúan encontrando una variedad de aplicaciones, aunque pueden ser matemáticamente complejas.

Aplicaciones en varios campos de la ciencia

FDT es más que solo una teoría limitada a la física teórica. Es una teoría aplicada en muchos campos, incluida la meteorología, la neurociencia, la ecología e incluso las finanzas para modelar fluctuaciones y predecir comportamiento basado en observaciones empíricas.

Ejemplo: Climatología

Los científicos utilizan modelos análogos de sistemas climáticos inspirados en FDT para comprender la sensibilidad climática y la respuesta a impactos antropogénicos. Estos modelos utilizan fluctuaciones en variables climáticas como la temperatura para estimar respuestas futuras al cambio climático.

Ejemplo: Neurociencia

En neurociencia, FDT se utiliza al investigar la transmisión sináptica en redes neuronales. Comprender la actividad neuronal espontánea puede proporcionar información sobre cómo las redes cerebrales responden a estímulos.

Conclusión

El teorema de fluctuación-disipación sigue siendo un elemento crucial en nuestra comprensión de la física, puenteando la brecha entre fluctuaciones microscópicas y disipaciones macroscópicas. Destaca la belleza y consistencia de las leyes naturales, permitiendo predicciones sobre sistemas complejos a partir de principios básicos. Sus aplicaciones van más allá de la física convencional, impactando una variedad de campos científicos y confirmando su papel clave en puenteando la comprensión entre escalas y sistemas.


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