Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein


En el campo de la mecánica estadística cuántica, es importante entender cómo se distribuyen las partículas entre diferentes niveles de energía. Dos distribuciones estadísticas importantes que describen estos sistemas son las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein. Estas surgen debido a diferentes propiedades intrínsecas de las partículas conocidas como fermiones y bosones. El mundo cuántico se divide en estas dos categorías, cada una de las cuales tiene características únicas e implicaciones sobre cómo se comportan las partículas en un sistema.

Partículas cuánticas: fermiones y bosones

Antes de entrar en los detalles de las estadísticas, primero comprendamos brevemente la diferencia entre fermiones y bosones:

Fermiones

  • Partículas que obedecen el principio de exclusión de Pauli, lo que significa que no pueden haber dos fermiones en el mismo estado cuántico al mismo tiempo.
  • Ejemplos incluyen electrones, protones y neutrones.
  • Tienen espines de media unidad, como 1/2, -1/2.

Bosones

  • Partículas que no obedecen el principio de exclusión de Pauli permiten que múltiples bosones existan en el mismo estado cuántico.
  • Ejemplos incluyen el fotón y el bosón de Higgs.
  • Tienen espines enteros, como 0, 1, 2.

Estadísticas de Fermi-Dirac

Las estadísticas de Fermi-Dirac describen la distribución de partículas fermiónicas a través de diferentes estados de energía. Este modelo estadístico es esencial para entender el comportamiento de los electrones en metales y otros sistemas donde los efectos cuánticos son importantes.

La función de distribución de Fermi-Dirac, f(E), da la probabilidad de que el nivel de energía E esté ocupado por un fermión. Está dada por la siguiente fórmula:

f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) + 1)

Dónde:

  • E es el nivel de energía.
  • μ es el potencial químico (energía de Fermi a cero absoluto).
  • k es la constante de Boltzmann.
  • T es la temperatura en Kelvin.
fermi-diracEnergía (E)f(e)Energía de Fermi (μ)

Importancia en los metales

En los metales, el comportamiento de los electrones de conducción puede entenderse usando estadísticas de Fermi-Dirac. A cero absoluto, todos los niveles de energía hasta el nivel de Fermi están llenos, y los que están por encima están vacíos. Al aumentar la temperatura, los electrones ganan energía y se mueven a niveles de energía más altos, pero la eficiencia de esta ocupación está gobernada por la función de distribución.

Ejemplo: Electrones en un metal

Considere un metal con una energía de Fermi de 5 eV a cero absoluto. Al aumentar la temperatura, digamos hasta 300 K, la distribución de ocupación de electrones está dada por la ecuación de Fermi-Dirac. Para niveles de energía por debajo de 5 eV, la probabilidad es alta, cerca de 1, mientras que para aquellos por encima de 5 eV, disminuye según el modelo definido anteriormente.

Estadísticas de Bose-Einstein

Las estadísticas de Bose-Einstein describen la distribución de bosones idénticos e indistinguibles. A diferencia de los fermiones, los bosones tienden a agregarse en el mismo estado de energía, especialmente a bajas temperaturas. Esta propiedad da lugar a fenómenos como la condensación de Bose-Einstein, donde una gran fracción de bosones están en el estado de energía más bajo.

La función de distribución de Bose-Einstein, n(E), se expresa por:

n(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) - 1)

donde los términos corresponden a la distribución de Fermi–Dirac:

  • E representa los niveles de energía.
  • μ es el potencial químico, que puede ser cero para los bosones a bajas temperaturas.
  • k representa la constante de Boltzmann.
  • T es la temperatura absoluta.
bose einsteinEnergía (E)N(E)

Condensación de Bose-Einstein

Una implicación notable de las estadísticas de Bose-Einstein es el fenómeno de la condensación de Bose-Einstein (BEC). A temperaturas muy bajas, típicamente cercanas al cero absoluto, un número macroscópico de bosones ocupa el estado de energía más bajo. Esto lleva a fenómenos cuánticos macroscópicos únicos que son observables a gran escala, desafiando la intuición de la física clásica.

Ejemplo: helio-4

El helio-4 es un ejemplo común de las estadísticas de Bose-Einstein. Cuando se enfría a temperaturas por debajo de 2.17 K, experimenta una transición de fase y entra en un estado de superfluidez. En este estado, el líquido fluye sin ninguna resistencia, demostrando los fascinantes efectos de la BEC.

Comparación e implicaciones

Las estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein proporcionan información profunda sobre el mundo microscópico. Comparemos las dos:

Propiedadfermi-diracbose einstein
aplica aFermiones (por ejemplo, electrones)Bosones (por ejemplo, fotones)
Principio de exclusiónobedece al principio de exclusión de Paulino sigue órdenes
Comportamiento a baja TLos niveles de energía se llenan hasta el nivel de FermiTendencia a ocupar estados similares (BEC)

Estos datos son fundamentales para comprender muchos fenómenos en física, desde las propiedades electrónicas de los sólidos hasta el funcionamiento de cuerpos celestes complejos.

Reflexiones finales

Tanto las estadísticas de Fermi-Dirac como las de Bose-Einstein son pilares clave en el estudio de la mecánica cuántica y la termodinámica, ofreciendo explicaciones detalladas del comportamiento de las partículas en una variedad de sistemas. Desde la conductividad de los metales hasta las propiedades únicas de los superfluidos, estas distribuciones moldean nuestra comprensión del universo físico.

En campos aplicados como la electrónica, entender las estadísticas de Fermi-Dirac es crucial para diseñar semiconductores. Por el contrario, las estadísticas de Bose-Einstein tienen implicaciones en el desarrollo de tecnologías dependientes de la física a bajas temperaturas, incluyendo la computación cuántica y los materiales avanzados.


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