Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

Pós-graduação → Mecânica estatística e termodinâmica → Mecânica estatística quântica ↓


Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein


No campo da mecânica estatística quântica, é importante entender como as partículas são distribuídas entre diferentes níveis de energia. Duas distribuições estatísticas importantes que descrevem esses sistemas são as estatísticas de Fermi-Dirac e Bose-Einstein. Estas surgem devido a diferentes propriedades intrínsecas das partículas conhecidas como férmions e bósons. O mundo quântico é dividido nessas duas categorias, cada uma das quais possui características e implicações únicas para o comportamento das partículas em um sistema.

Partículas quânticas: férmions e bósons

Antes de entrar nos detalhes das estatísticas, vamos entender brevemente a diferença entre férmions e bósons:

Férmions

  • Partículas que obedecem ao princípio da exclusão de Pauli, o que significa que nenhum dois férmions podem estar no mesmo estado quântico ao mesmo tempo.
  • Exemplos incluem elétrons, prótons e nêutrons.
  • Eles têm spins de semi-inteiros, como 1/2, -1/2.

Bósons

  • Partículas que não obedecem ao princípio da exclusão de Pauli permitem que múltiplos bósons existam no mesmo estado quântico.
  • Exemplos incluem o fóton e o bóson de Higgs.
  • Eles têm spins inteiros, como 0, 1, 2.

Estatísticas de Fermi–Dirac

As estatísticas de Fermi-Dirac descrevem a distribuição de partículas fermiônicas sobre diferentes estados de energia. Este modelo estatístico é essencial para entender o comportamento dos elétrons em metais e outros sistemas onde efeitos quânticos são importantes.

A função de distribuição de Fermi-Dirac, f(E), fornece a probabilidade de que o nível de energia E seja ocupado por um férmion. Ela é dada pela seguinte fórmula:

f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) + 1)

Onde:

  • E é o nível de energia.
  • μ é o potencial químico (energia de Fermi no zero absoluto).
  • k é a constante de Boltzmann.
  • T é a temperatura em Kelvin.
fermi-diracEnergia (E)f(e)Energia de Fermi (μ)

Importância nos metais

Nos metais, o comportamento dos elétrons de condução pode ser entendido usando as estatísticas de Fermi-Dirac. No zero absoluto, todos os níveis de energia até a energia de Fermi estão preenchidos, e os acima estão vazios. À medida que a temperatura aumenta, os elétrons ganham energia e se movem para estados de energia mais altos, mas a eficiência desta ocupação é governada pela função de distribuição.

Exemplo: Elétrons em um metal

Considere um metal com energia de Fermi de 5 eV no zero absoluto. À medida que aumentamos a temperatura, digamos até 300 K, a distribuição de ocupação dos elétrons é dada pela equação de Fermi-Dirac. Para níveis de energia abaixo de 5 eV, a probabilidade é alta, próxima de 1, enquanto para aqueles acima de 5 eV, ela diminui de acordo com o modelo definido anteriormente.

Estatísticas de Bose–Einstein

As estatísticas de Bose-Einstein descrevem a distribuição de bósons idênticos e indistinguíveis. Ao contrário dos férmions, os bósons tendem a se agrupar no mesmo estado de energia, especialmente em baixas temperaturas. Esta propriedade dá origem a fenômenos como a condensação de Bose-Einstein, onde uma fração grande de bósons está no estado de energia mais baixo.

A função de distribuição de Bose–Einstein, n(E), é expressa por:

n(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) - 1)

onde os termos correspondem à distribuição de Fermi–Dirac:

  • E representa os níveis de energia.
  • μ é o potencial químico, que pode ser zero para bósons a baixas temperaturas.
  • k representa a constante de Boltzmann.
  • T é a temperatura absoluta.
bose einsteinEnergia (E)N(E)

Condensação de Bose–Einstein

Uma implicação notável das estatísticas de Bose-Einstein é o fenômeno da condensação de Bose-Einstein (BEC). Em temperaturas muito baixas, tipicamente próximas do zero absoluto, um número macroscópico de bósons ocupa o estado de energia mais baixo. Isso leva a fenômenos quânticos macroscópicos únicos que são observáveis em larga escala, desafiando a intuição da física clássica.

Exemplo: hélio-4

Hélio-4 é um exemplo comum das estatísticas de Bose-Einstein. Quando é resfriado a temperaturas abaixo de 2,17 K, ele sofre uma transição de fase e entra em um estado superfluido. Nesse estado, o líquido flui sem qualquer resistência, demonstrando os efeitos fascinantes do BEC.

Comparação e implicações

As estatísticas de Fermi-Dirac e Bose-Einstein fornecem informações profundas sobre o mundo microscópico. Vamos comparar as duas:

Propriedadefermi-diracbose einstein
aplica-se aFérmions (ex: elétrons)Bósons (ex: fótons)
Princípio de exclusãoobedecem ao princípio de exclusão de Paulinão segue ordens
Comportamento em baixas TNíveis de energia se preenchem até o nível de FermiTendência a ocupar estados semelhantes (BEC)

Esses dados são fundamentais para entender muitos fenômenos na física, desde as propriedades eletrônicas dos sólidos até o funcionamento de corpos celestes complexos.

Considerações finais

Tanto as estatísticas de Fermi-Dirac quanto as de Bose-Einstein são pilares fundamentais no estudo da mecânica quântica e termodinâmica, oferecendo explicações detalhadas sobre o comportamento das partículas em uma variedade de sistemas. Desde a condutividade dos metais até as propriedades únicas dos superfluidos, essas distribuições moldam nossa compreensão do universo físico.

Em campos aplicados como a eletrônica, entender as estatísticas de Fermi-Dirac é crucial para o design de semicondutores. Por outro lado, as estatísticas de Bose-Einstein têm implicações no desenvolvimento de tecnologias dependentes da física de baixa temperatura, incluindo computação quântica e materiais avançados.


Pós-graduação → 3.2.4


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (3.2.3)
Transição de fase quântica
Próximo (3.2.5) →
Funções de partição e ensembles grand canônicos

Comentários 



Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein

https://www.physicsflow.com/g/3.2.4?pfal=pt