Магистрант
  1. Классическая механика  1.1. Продвинутая кинематика  1.1.1. Обобщенные системы координат  1.1.2. Параметрические уравнения движения  1.1.3. Неинерциальные системы и фиктивные силы  1.1.4. Ковариантная формулировка импульса  1.1.5. Action-angle variable  1.2. Лагранжева и гамильтонова механика  1.2.1. Принцип минимального действия  1.2.2. Уравнения Эйлера-Лагранжа  1.2.3. Теорема Нётер и законы сохранения  1.2.4. Нормализованная скорость  1.2.5. Каноническое преобразование  1.2.6. Скобка Пуассона и теория Гамильтона–Якоби  1.2.7. Гамильтонова хаоса и интегрируемость  1.3. Мобильность жесткого тела  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Principal moments of inertia  1.3.3. Гироскопическое движение и прецессия  1.3.4. Тензор инерции  1.3.5. Стабильность скорости вращения  1.4. Нелинейная динамика и хаос  1.4.1. Phase space and stability analysis  1.4.2. Секции Пуанкаре и теория бифуркации  1.4.3. Странные аттракторы и фракталы  1.4.4. Показатель Ляпунова  1.4.5. Теорема КАМ и квазипериодическое движение
  2. Электромагнетизм  2.1. Advanced Electrodynamics  2.1.1. Функция Грина и теория потенциала  2.1.2. Multipole expansion  2.1.3. Метод заряда изображения  2.1.4. Граничные условия и теорема о единственности  2.2. Распространение электромагнитных волн  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Волноводы и резонаторы  2.2.3. Давление излучения и оптические пинцеты  2.2.4. Поляризация и теорема Джонса  2.3. Релятивистская электродинамика  2.3.1. Covariant formulation of electrodynamics  2.3.2. Потенциалы Лиенара-Вихерта  2.3.3. Синхротронное излучение и тормозное излучение  2.3.4. Тензор электромагнитного поля и преобразования Лоренца  2.4. Физика плазмы  2.4.1. Magnetohydrodynamics  2.4.2. Экранирование Дебая и плазменные колебания  2.4.3. Волны Альфвена и удержание в токамаке  2.4.4. Нестабильности и турбулентность в плазме
  3. Статистическая механика и термодинамика  3.1. Продвинутая термодинамика  3.1.1. Преобразования Лежандра и термодинамические потенциалы  3.1.2. Теорема флуктуаций-диссипации  3.1.3. Онсагерские взаимные отношения  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Квантовая статистическая механика  3.2.1. Density Matrix and Ensemble Theory  3.2.2. Конденсаты Бозе – Эйнштейна  3.2.3. Квантовый фазовый переход  3.2.4. Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна  3.2.5. Функции распределения и большие канонические ансамбли
  4. Квантовая механика  4.1. Углубленная механика волн  4.1.1. Приближение ВКБ  4.1.2. Формулировка с использованием интегралов по путям  4.1.3. Quantum harmonic oscillator and coherent states  4.2. Угловой момент и спин  4.2.1. Сферические Гармоники  4.2.2. Клебш–Гордан коэффициент  4.2.3. Теорема Вигнера–Экарта  4.2.4. Спин-орбитальное взаимодействие  4.3. Теория квантового рассеяния  4.3.1. Приближение Борна  4.3.2. Анализ частичных волн  4.3.3. Оптическая теорема  4.3.4. Теория S-матрицы  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Вторая квантование  4.4.2. Диаграммы Фейнмана и пропагаторы  4.4.3. Теория перенормировки  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Спонтанное нарушение симметрии и механизм Хиггса
  5. Общая теория относительности и космология  5.1. Тензорное исчисление и дифференциальная геометрия  5.1.1. Уравнения Эйнштейна  5.1.2. Метрики Шварцшильда и Керра  5.1.3. Геодезия и символы Христоффеля  5.2. Космология и Вселенная  5.2.1. Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера и космическая инфляция  5.2.2. Темная энергия и образование структур  5.2.3. Космическое микроволновое фоновое излучение
  6. Физика конденсированного состояния  6.1. Структура зон и теория переноса  6.1.1. Теорема Блоха и модель Кронига-Пенни  6.1.2. Топология поверхности Ферми  6.1.3. Квантовый эффект Холла  6.2. Superconductivity  6.2.1. BCS theory and Cooper pairs  6.2.2. Эффект Мейснера и квантизация потока  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Топологические фазы вещества  6.3.1. Топологические изоляторы  6.3.2. Фермионы Майораны в топологических фазах материи
  7. Nuclear and Particle Physics  7.1. Квантовая хромодинамика (КХД)  7.1.1. Кварк-глюонная плазма  7.1.2. Асимптотическая свобода  7.1.3. Конфайнмент и адронизация  7.2. За пределами Стандартной модели  7.2.1. Великие объединённые теории  7.2.2. Суперсимметрия и дополнительные измерения  7.2.3. Neutrino oscillations

Магистрант → Статистическая механика и термодинамика → Квантовая статистическая механика ↓


Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна


В области квантовой статистической механики важно понимать, как частицы распределяются между различными уровнями энергии. Два важных статистических распределения, описывающих эти системы, это статистики Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна. Они возникают из-за различных внутренних свойств частиц, известных как фермионы и бозоны. Квантовый мир делится на эти две категории, каждая из которых имеет уникальные характеристики и последствия для поведения частиц в системе.

Квантовые частицы: фермионы и бозоны

Прежде чем перейти к деталям статистики, давайте кратко разберем разницу между фермионами и бозонами:

Фермионы

  • Частицы, которые подчиняются принципу запрета Паули, что означает, что никакие два фермиона не могут находиться в одном и том же квантовом состоянии одновременно.
  • Примеры включают электроны, протоны и нейтроны.
  • Они имеют полуцелые спины, такие как 1/2, -1/2.

Бозоны

  • Частицы, которые не подчиняются принципу запрета Паули, позволяя нескольким бозонам существовать в одном квантовом состоянии.
  • Примеры включают фотон и бозон Хиггса.
  • Они имеют целочисленные спины, такие как 0, 1, 2.

Статистика Ферми–Дирака

Статистика Ферми-Дирака описывает распределение фермионных частиц по различным энергетическим уровням. Эта статистическая модель необходима для понимания поведения электронов в металлах и других системах, где важны квантовые эффекты.

Функция распределения Ферми-Дирака, f(E), дает вероятность того, что энергетический уровень E занят фермионом. Она задается следующей формулой:

f(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) + 1)

Где:

  • E — это энергетический уровень.
  • μ — это химический потенциал (ферми-энергия при абсолютном нуле).
  • k — это постоянная Больцмана.
  • T — это температура в Кельвинах.
ферми-диркЭнергия (E)f(e)Ферми энергия (μ)

Значение в металлах

В металлах поведение электронов проводимости можно понять, используя статистику Ферми-Дирака. При абсолютном нуле все энергетические уровни до уровня Ферми заполнены, а те, которые выше, пусты. По мере повышения температуры электроны получают энергию и переходят на более высокие энергетические уровни, но эффективность этого занятия определяется функцией распределения.

Пример: электроны в металле

Рассмотрим металл с ферми-энергией 5 эВ при абсолютном нуле. Когда мы повышаем температуру, например, до 300 K, распределение занятости электронов определяется уравнением Ферми-Дирака. Для уровней энергии ниже 5 эВ вероятность высока, близка к 1, а для уровней выше 5 эВ она уменьшается в соответствии с ранее определенной моделью.

Статистика Бозе–Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна описывает распределение идентичных, неразличимых бозонов. В отличие от фермионов, бозоны имеют тенденцию агрегироваться в одном и том же энергетическом состоянии, особенно при низких температурах. Это свойство порождает такие явления, как конденсация Бозе-Эйнштейна, когда большая часть бозонов находится в нижней энергетической состоянии.

Функция распределения Бозе-Эйнштейна, n(E), выражается следующим образом:

n(E) = 1 / (exp((E - μ) / kT) - 1)

где термины соответствуют распределению Ферми-Дирака:

  • E представляет уровни энергии.
  • μ - это химический потенциал, который может быть равен нулю для бозонов при низких температурах.
  • k - это постоянная Больцмана.
  • T - это абсолютная температура.
бозе эйнштейнЭнергия (E)N(E)

Конденсация Бозе–Эйнштейна

Замечательное следствие статистики Бозе-Эйнштейна заключается в явлении конденсации Бозе-Эйнштейна (КБЭ). При очень низких температурах, обычно близких к абсолютному нулю, макроскопическое количество бозонов занимает нижнее энергетическое состояние. Это приводит к уникальным макроскопическим квантовым явлениям, которые наблюдаются в большом масштабе, оспаривая интуицию классической физики.

Пример: гелий-4

Гелий-4 является распространенным примером статистики Бозе-Эйнштейна. Когда его охлаждают до температур ниже 2,17 K, он подвергается фазовому переходу и переходит в сверхтекучее состояние. В этом состоянии жидкость течет без какого-либо сопротивления, демонстрируя захватывающие эффекты КБЭ.

Сравнение и последствия

Статистика Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна предоставляет глубокую информацию о микроскопическом мире. Давайте сравним их:

Свойствоферми-диркбозе эйнштейн
применяется кФермионы (например, электроны)Бозоны (например, фотоны)
Принцип запретаподчиняются принципу запрета Паулине следуют принципу
Поведение при низких TЭнергетические уровни заполняются до уровня ФермиСклонность занимать подобные состояния (КБЭ)

Эти данные являются фундаментальными для понимания многих явлений в физике, от электронных свойств твердых тел до функционирования сложных небесных тел.

Заключительные мысли

Как статистика Ферми-Дирака, так и статистика Бозе-Эйнштейна являются ключевыми столпами в изучении квантовой механики и термодинамики, предлагая детальные объяснения поведения частиц в различных системах. От проводимости металлов до уникальных свойств сверхтекучих веществ, эти распределения формируют наше понимание физической вселенной.

В прикладных областях, таких как электроника, понимание статистики Ферми-Дирака имеет решающее значение для проектирования полупроводников. Напротив, статистика Бозе-Эйнштейна имеет значение в развитии технологий, зависящих от низкотемпературной физики, включая квантовые вычисления и передовые материалы.


Магистрант → 3.2.4


U
username
0%
завершено в Магистрант

← Предыдущий (3.2.3)
Квантовый фазовый переход
Следующий (3.2.5) →
Функции распределения и большие канонические ансамбли

Комментарии 



Статистика Ферми–Дирака и Бозе–Эйнштейна

https://www.physicsflow.com/g/3.2.4?pfal=ru