Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes


La mecánica estadística cuántica es un campo de estudio importante en la física moderna que combina la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica. Dentro de este marco, los conceptos de funciones de partición y grupos son importantes para comprender el comportamiento estadístico de los sistemas. En particular, el conjunto canónico grande juega un papel esencial cuando el número de partículas en un sistema no es fijo, como en sistemas abiertos que intercambian partículas con un reservorio. Este texto discute estos conceptos en detalle, explicando su importancia y cómo se utilizan en la mecánica estadística cuántica.

¿Qué es una función de partición?

La función de partición es un concepto fundamental tanto en la mecánica estadística clásica como en la cuántica. Sirve como una función generadora para las cantidades termodinámicas y es esencial para describir las propiedades estadísticas de los sistemas de equilibrio.

En términos estadísticos, la función de partición Z se expresa como la suma sobre todos los posibles estados del sistema:

Z = Σ e^(-βE_i)

Aquí, β = 1/kT, donde k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura. Cada término en la suma corresponde a un estado i con energía E_i.

La función de partición abarca todos los posibles estados microscópicos de un sistema y proporciona un vínculo con variables termodinámicas macroscópicas, como la energía, la entropía y la energía libre. Esta función es importante para derivar la probabilidad de que un sistema esté en un estado específico y para dar información sobre la probabilidad de diferentes configuraciones.

Tipos de funciones de partición

Exploremos algunos tipos específicos de funciones de partición:

  • Grupo canónico: Para un sistema con un número fijo de partículas N, volumen V y temperatura T, la función de partición canónica está dada por: 
    Z(N, V, T) = Σ e^(-βE_i)
  • Conjunto microcanónico: En este conjunto, el sistema tiene una energía fija E, volumen V y número de partículas N Por lo tanto, el número de microestados accesibles está dado por: 
    Ω(E, V, N) = número de estados con energía E
  • Conjunto canónico grande: Este conjunto permite variaciones en el número, energía y volumen de las partículas, caracterizado por la función de partición canónica grande: 
    Ξ = Σ e^(-β(E_i - μN_i))
    donde μ es el potencial químico.

Conjunto canónico grande

El conjunto canónico grande es una herramienta compleja y poderosa, especialmente en sistemas donde hay intercambio de partículas con un reservorio. Está diseñado para hacer predicciones estadísticamente significativas para sistemas que no están cerrados.

Tome el ejemplo de un gas atrapado en un contenedor abierto en un lado, que intercambia partículas con su entorno. Tal agrupamiento es esencial para describir fenómenos como absorción, reacciones químicas y procesos biológicamente importantes.

Función de partición canónica grande

En el conjunto canónico grande, la función de partición canónica grande Ξ se define como la suma sobre todos los números de partículas N y estados i: 

Ξ = Σ Σ e^(-β(E_i - μN))

La interpretación de cantidades como la probabilidad de un sistema con N partículas y el valor esperado de observaciones físicas se vuelve clara con la función de partición canónica grande. Está directamente conectada al potencial canónico grande Φ, que da acceso a información sobre presión, número de partículas y otras propiedades:

Φ = -kT ln Ξ

Probabilidad en el conjunto canónico grande

En este conjunto, la probabilidad P(N, i) de estar en un estado particular con N partículas y configuración i está dada por: 

P(N, i) = e^(-β(E_i - μN)) / Ξ

Relación con variables termodinámicas

El conjunto canónico grande conecta bellamente las variables termodinámicas con los parámetros microscópicos. Aquí hay algunas relaciones clave:

  • Número promedio de partículas: El número promedio de partículas se obtiene de la siguiente manera: 
    ⟨N⟩ = (kT ∂lnΞ / ∂μ)
  • Energía interna: La energía promedio se asocia con lo siguiente: 
    ⟨E⟩ = - ∂lnΞ / ∂β
  • Entropía: La entropía de un sistema se calcula de la siguiente manera: 
    S = (⟨E⟩ - μ⟨N⟩ + kT lnΞ) / T

Ejemplo visual: función de partición

Caso 1: e^(-βE1) Estado 2: e^(-βE2) Caso 3: e^(-βE3) , Estado N: e^(-βEN) ∑ e^(-βE_i)=Z

Este SVG muestra una visualización básica de cómo funcionan las funciones de partición, representando cada posible estado con los factores de Boltzmann correspondientes, que contribuyen a la suma que constituye la función de partición.

Conclusión

Comprender las funciones de partición y los conjuntos canónicos grandes permite a los físicos resolver muchos problemas complejos que involucran sistemas abiertos. Estas ideas forman la columna vertebral de la mecánica estadística cuántica, permitiendo el cálculo de propiedades termodinámicas a partir de detalles microscópicos. Ya sea tratando con gases, sólidos o sustancias más exóticas, estas herramientas proporcionan ideas cruciales para el avance de la física y sus aplicaciones a muchos fenómenos tecnológicos y naturales.


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