Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

Pós-graduação → Mecânica estatística e termodinâmica → Mecânica estatística quântica ↓


Funções de partição e ensembles grand canônicos


A mecânica estatística quântica é um campo de estudo importante na física moderna que combina mecânica quântica e mecânica estatística clássica. Dentro deste quadro, os conceitos de funções de partição e ensembles são importantes para entender o comportamento estatístico dos sistemas. Em particular, o ensemble grand canônico desempenha um papel essencial quando o número de partículas em um sistema não é fixo, como em sistemas abertos que trocam partículas com um reservatório. Este texto discute esses conceitos em detalhe, explicando sua importância e como são usados na mecânica estatística quântica.

O que é uma função de partição?

A função de partição é um conceito fundamental tanto na mecânica estatística clássica quanto na quântica. Ela serve como uma função geradora para quantidades termodinâmicas e é essencial para descrever as propriedades estatísticas de sistemas em equilíbrio.

Em termos estatísticos, a função de partição Z é expressa como a soma sobre todos os estados possíveis do sistema:

Z = Σ e^(-βE_i)

Aqui, β = 1/kT, onde k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura. Cada termo na soma corresponde a um estado i com energia E_i.

A função de partição abrange todos os estados microscópicos possíveis de um sistema e fornece um elo para variáveis termodinâmicas macroscópicas, como energia, entropia e energia livre. Esta função é importante para derivar a probabilidade de um sistema estar em um estado específico e fornecer informações sobre a probabilidade de diferentes configurações.

Tipos de funções de partição

Vamos explorar alguns tipos específicos de funções de partição:

  • Ensemble canônico: Para um sistema com um número fixo de partículas N, volume V e temperatura T, a função de partição canônica é dada por: 
    Z(N, V, T) = Σ e^(-βE_i)
  • Ensemble microcanônico: Neste ensemble, o sistema tem uma energia fixa E, volume V e número de partículas N. Assim, o número de microestados acessíveis é dado por: 
    Ω(E, V, N) = número de estados com energia E
  • Ensemble grand canônico: Este ensemble permite variações no número, energia e volume das partículas, caracterizado pela função de partição grand canônica: 
    Ξ = Σ e^(-β(E_i - μN_i))
    onde μ é o potencial químico.

Ensemble grand canônico

O ensemble grand canônico é uma ferramenta complexa e poderosa, especialmente em sistemas onde há troca de partículas com um reservatório. Ele é projetado para fazer as previsões estatisticamente mais significativas para sistemas que não são fechados.

Tome o exemplo de um gás preso em um recipiente aberto de um lado, que troca partículas com seu entorno. Tal ensemble é essencial para descrever fenômenos como absorção, reações químicas e processos biologicamente importantes.

Função de partição grand canônica

No ensemble grand canônico, a função de partição grand canônica Ξ é definida como a soma sobre todos os números de partículas N e estados i: 

Ξ = Σ Σ e^(-β(E_i - μN))

A interpretação de quantidades como a probabilidade de um sistema com N partículas e o valor esperado das observações físicas torna-se clara com a função de partição grand canônica. Ela está diretamente conectada ao potencial grand Φ, que fornece acesso a informações sobre pressão, número de partículas e outras propriedades:

Φ = -kT ln Ξ

Probabilidade no ensemble grand canônico

Neste ensemble, a probabilidade P(N, i) de estar em um estado particular com N partículas e configuração i é dada por: 

P(N, i) = e^(-β(E_i - μN)) / Ξ

Relação com variáveis termodinâmicas

O ensemble grand canônico conecta magnificamente as variáveis termodinâmicas com parâmetros microscópicos. Aqui estão algumas relações chave:

  • Número médio de partículas: O número médio de partículas é obtido da seguinte forma: 
    ⟨N⟩ = (kT ∂lnΞ / ∂μ)
  • Energia interna: A energia média está associada à seguinte relação: 
    ⟨E⟩ = - ∂lnΞ / ∂β
  • Entropia: A entropia de um sistema é calculada como segue: 
    S = (⟨E⟩ - μ⟨N⟩ + kT lnΞ) / T

Exemplo visual: função de partição

Estado 1: e^(-βE1) Estado 2: e^(-βE2) Estado 3: e^(-βE3) ... Estado N: e^(-βEN) ∑ e^(-βE_i)=Z

Este SVG exibe uma visualização básica de como as funções de partição funcionam, representando cada estado possível com os fatores de Boltzmann correspondentes, que contribuem para a soma que constitui a função de partição.

Conclusão

Compreender funções de partição e ensembles grand canônicos permite que os físicos resolvam muitos problemas complexos envolvendo sistemas abertos. Essas ideias formam a espinha dorsal da mecânica estatística quântica, possibilitando o cálculo de propriedades termodinâmicas a partir de detalhes microscópicos. Seja lidando com gases, sólidos ou substâncias mais exóticas, essas ferramentas fornecem insights cruciais para o avanço da física e suas aplicações a muitos fenômenos tecnológicos e naturais.


Pós-graduação → 3.2.5


U
username
0%
concluído em Pós-graduação

← Anterior (3.2.4)
Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein
Próximo (4) →
Mecânica quântica

Comentários 



Funções de partição e ensembles grand canônicos

https://www.physicsflow.com/g/3.2.5?pfal=pt