Aproximación WKB

La aproximación de Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) es un método poderoso utilizado en mecánica cuántica para resolver la ecuación de Schrödinger para una sola partícula. Esta aproximación es particularmente útil para comprender sistemas donde el potencial cambia lentamente, como en el tunelaje cuántico y en el análisis semiclasico de sistemas cuánticos.

Concepto básico

Comencemos con la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión:

        -ħ²/2m * (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
    

Aquí, ħ es la constante de Planck reducida, m es la masa de la partícula, ψ(x) es la función de onda, V(x) es la energía potencial, y E es la energía total de la partícula.

La aproximación WKB se aplica cuando el potencial V(x) cambia lentamente en el espacio. La idea básica es expresar la función de onda ψ(x) como una función exponencial cuyo exponente es una integral de un parámetro relacionado con el movimiento clásico de la partícula.

Etimología

Se supone que la forma de la función de onda es la siguiente:

        ψ(x) = A(x) exp(i S(x) / ħ)
    

donde A(x) es la amplitud y S(x) es la acción. Sustituyendo esta forma en la ecuación de Schrödinger y aplicando la aproximación WKB, encontramos la siguiente expresión para S(x):

        dS(x)/dx = ±√(2m(E - V(x)))
    

Esta ecuación nos dice que S(x) está relacionada con el movimiento clásico. Integrando obtenemos:

        S(x) = ∫ ±√(2m(E - V(x))) dx
    

Regiones y milán

Para usar la aproximación WKB, es importante considerar el comportamiento de la función de onda en diferentes regiones del potencial:

• Región clásicamente permitida (E > V(x)): En esta región, la partícula puede existir. La función de onda tiene la forma:

                  ψ(x) = A(x) exp(±i ∫ √(2m(E - V(x))) dx / ħ)
              

• Región clásicamente prohibida (E < V(x)): la presencia de la partícula solo es soportada por la mecánica cuántica (como el tunelaje). La función de onda es:

                  ψ(x) = B(x) exp(± ∫ √(2m(V(x) - E)) dx / ħ)
              

Punto de inflexión

Ocurre un punto de inflexión cuando E = V(x). En los puntos de inflexión, la aproximación WKB se rompe porque el parámetro dentro de la integral se hace cero. Necesitamos emparejar cuidadosamente las soluciones a ambos lados. Considera posibilidades como un oscilador armónico simple o un pozo cuántico, donde el concepto de puntos de inflexión es relevante.

En el diagrama anterior, se observa una curva de potencial y una línea horizontal que representa la energía E. Los puntos donde la curva cruza esta línea son los puntos de inflexión.

Fórmula de conexión

Las fórmulas de conexión expresan el comportamiento de la función de onda cerca del punto de inflexión. Ellas aseguran que las soluciones en las regiones permitidas y prohibidas clásicamente estén conectadas suavemente. Esto es importante al calcular fenómenos como la probabilidad de tunelaje. Normalmente, usamos funciones de Airy para tratar soluciones cerca del punto de inflexión.

Ejemplo: oscilador armónico

Por ejemplo, considera el oscilador armónico cuántico. Su potencial es:

        V(x) = 1/2 m ω² x²
    

Convencionalmente, los puntos de inflexión se encuentran donde la energía potencial es igual a la energía total:

        E = 1/2 m ω² x²
    

Usando WKB, estimamos diferentes campos y los emparejamos según las reglas de la mecánica cuántica.

Ejemplo: barrera de potencial rectangular

Otra aplicación importante de la aproximación WKB es entender el tunelaje cuántico, como se ve en una barrera de potencial rectangular:

        V(x) = { 0 si x < 0, V₀ si 0 ≤ x ≤ a, 0 si x > a }
    

Para una partícula que se mueve hacia una barrera con energía E tal que E < V₀, la física clásica no predice un camino, pero la mecánica cuántica permite el tunelaje. Es importante entender aquí la decadencia exponencial de la función de onda dentro de la barrera.

Aplicaciones y limitaciones

La aproximación WKB se utiliza ampliamente en mecánica cuántica ya que proporciona un enfoque semiclasico y simplifica problemas complejos. También se utiliza en el estudio de fenómenos de ondas gravitatorias en física atómica, química cuántica, e incluso astrofísica.

Sin embargo, la aproximación tiene sus limitaciones. Falla cerca de los puntos de inflexión y no puede tener en cuenta cambios abruptos en el potencial. En casos de efectos cuánticos fuertes, como los que involucran energías muy bajas o potenciales con características agudas, es preferible métodos más precisos.

Conclusión

La aproximación WKB es una herramienta versátil en el conjunto de herramientas de la mecánica cuántica avanzada, que cierra la brecha entre la mecánica clásica y la naturaleza ondulatoria de la mecánica cuántica. Mientras simplifica la comprensión de sistemas cuánticos en probabilidades de cambio lento, se debe tener cuidado alrededor de los puntos de inflexión y considerar las limitaciones inherentes a cualquier aproximación.

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