डब्ल्यूकेबी सरलीकरण

वेंटज़ेल-क्रैमर-ब्रिलुइन (डब्ल्यूकेबी) सरलीकरण एक शक्ति प्रयोग विधि होती है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में किया जाता है एकल कण की श्रैडींगर समीकरण हल करने के लिए। यह सरलीकरण विशेष रूप से उपयोगी होता है उन प्रणालियों को समझने में जहाँ संभावनाएँ धीरे-धीरे बदलती हैं, जैसे कि क्वांटम टनलिंग और क्वांटम प्रणालियों के अर्द्ध-क्लासिक विश्लेषण में।

मूलभूत अवधारणा

आइए एक आयाम में समय-स्वतंत्र श्रैडींगर समीकरण से प्रारंभ करते हैं:

        -ħ²/2m * (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
    

यहाँ, ħ घटित प्लैंक स्थिरांक है, m कण का द्रव्यमान है, ψ(x) तरंग कार्य है, V(x) संभावित ऊर्जा है, और E कण की कुल ऊर्जा है।

डब्ल्यूकेबी सरलीकरण तब लागू होता है जब संभावनाएँ V(x) स्थान में धीरे-धीरे बदलती हैं। मूलभूत विचार यह होता है कि तरंग कार्य ψ(x) को एक घातांक फलन के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसका सूचकांक कण की क्लासिक गतिकी से संबंधित एक पैरामीटर का समाकलन होता है।

उत्पत्ति

तरंग कार्य का रूप निम्नलिखित होने की कल्पना की जाती है:

        ψ(x) = A(x) exp(i S(x) / ħ)
    

जहाँ A(x) परिमाण और S(x) क्रिया है। इस रूप को श्रैडींगर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हुए और डब्ल्यूकेबी सरलीकरण को लागू करते हुए, हमें S(x) के लिए निम्नलिखित व्यंजक मिलते हैं:

        dS(x)/dx = ±√(2m(E - V(x)))
    

यह समीकरण हमें बताती है कि S(x) क्लासिक गतिकी से संबंधित है। समाकलन करने पर हमें मिलता है:

        S(x) = ∫ ±√(2m(E - V(x))) dx
    

क्षेत्र और मिलान

डब्ल्यूकेबी सरलीकरण का उपयोग करने के लिए, विभिन्न संभावित क्षेत्रों में तरंग कार्य के व्यवहार पर विचार करना महत्वपूर्ण है:

• क्लासिकल स्वीकृत क्षेत्र (E > V(x)): इस क्षेत्र में, कण का अस्तित्व संभव होता है। तरंग कार्य का रूप होता है:

                  ψ(x) = A(x) exp(±i ∫ √(2m(E - V(x))) dx / ħ)
              

• क्लासिकल निषिद्ध क्षेत्र (E < V(x)): कण की उपस्थिति केवल क्वांटम यांत्रिकी द्वारा समर्थित होती है (जैसे टनलिंग में)। तरंग कार्य होता है:

                  ψ(x) = B(x) exp(± ∫ √(2m(V(x) - E)) dx / ħ)
              

मुड़ने बिंदु

एक अवमूल्यन बिंदु होता है जब E = V(x)। अवमूल्यन बिंदुओं पर, डब्ल्यूकेबी सरलीकरण टूट जाता है क्योंकि समाकल का अंदर का पैरामीटर शून्य हो जाता है। हमें दोनों पक्षों के समाधानों को सावधानीपूर्वक मिलाना होगा। सरल हार्मोनिक ऑस्सिलेटर या एक क्वांटम वेल जैसी संभावनाओं पर विचार करें, जहाँ अवमूल्यन बिंदुओं की अवधारणा प्रासंगिक होती है।

उपरोक्त आरेख में, आप एक संभावित वक्र और एक क्षैतिज रेखा देखते हैं जो ऊर्जा E का प्रतिनिधित्व करती है। वे बिंदु जहाँ वक्र इस रेखा को पार करता है वे अवमूल्यन बिंदु हैं।

सम्पर्क सूत्र

सम्पर्क सूत्र अवमूल्यन बिंदु के पास तरंग कार्य के व्यवहार को व्यक्त करते हैं। ये सुनिश्चित करते हैं कि क्लासिकल रूप से स्वीकृत और निषिद्ध क्षेत्रों में समाधान को सुचारू रूप से मिलाया जा सके। यह तब महत्वपूर्ण होता है जब टनलिंग संभावना जैसी घटनाओं की गणना की जाती है। सामान्यतः, हम अवमूल्यन बिंदु के पास समाधान से निपटने के लिए एयरि फलनों का उपयोग करते हैं।

उदाहरण: हार्मोनिक ऑस्सिलेटर

उदाहरण के लिए, क्वांटम हार्मोनिक ऑस्सिलेटर पर विचार करें। इसकी संभाव्यता होती है:

        V(x) = 1/2 m ω² x²
    

परंपरागत रूप से, अवमूल्यन बिंदु वहाँ होते हैं जहाँ संभावित ऊर्जा कुल ऊर्जा के बराबर होती है:

        E = 1/2 m ω² x²
    

डब्ल्यूकेबी का उपयोग करके, हम विभिन्न क्षेत्रों का अनुमान लगाते हैं और उन्हें क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार मिलाते हैं।

उदाहरण: आयताकार संभावित बाधा

डब्ल्यूकेबी सरलीकरण का एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग आयताकार संभावित बाधा में क्वांटम टनलिंग को समझना होता है:

        V(x) = { 0 यदि x < 0, V₀ यदि 0 ≤ x ≤ a, 0 यदि x > a }
    

एक कण जिसकी ऊर्जा E होती है जिसे E < V₀ होता है, बाधा की ओर बढ़ता है, क्लासिकल भौतिकी कोई मार्ग की भविष्यवाणी नहीं करती है, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी टनलिंग की अनुमति देती है। यहाँ बाधा के अंदर तरंग कार्य के घातीय क्षय को समझना महत्वपूर्ण होता है।

अनुप्रयोग और सीमाएँ

डब्ल्यूकेबी सरलीकरण क्वांटम यांत्रिकी में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है क्योंकि यह अर्द्ध-क्लासिक दृष्टिकोण प्रदान करता है और जटिल समस्याओं को सरल करता है। यह परमाणु भौतिकी, क्वांटम रसायन विज्ञान और यहां तक कि खगोलभौतिकी में गुरुत्वाकर्षण तरंग संरचना के अध्ययन में भी उपयोग किया जाता है।

हालांकि, सरलीकरण की कुछ सीमाएँ होती हैं। यह अवमूल्यन बिंदुओं के पास विफल होता है और तत्काल संभावित परिवर्तनों को ध्यान में नहीं ले सकता। मजबूत क्वांटम प्रभावों के मामलों में, जैसे कि बहुत कम ऊर्जा या तीव्र विशेषताओं वाले संभावितों में, अधिक सटीक तरीकों को प्राथमिकता दी जाती है।

निष्कर्ष

डब्ल्यूकेबी सरलीकरण एक उन्नत क्वांटम यांत्रिकी उपकरण में एक बहु-उपयोगी उपकरण है, जो क्लासिकल यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी की तरंग-मूलक प्रकृति के बीच का पुल बनाता है। जबकि यह धीरे-धीरे बदलती संभावनाओं में क्वांटम प्रणालियों की समझ को सरल बनाता है, अवमूल्यन बिंदुओं के आसपास सावधानी बरतनी चाहिए और किसी भी सरलीकरण में अंतर्निहित सीमाओं पर विचार करना चाहिए।

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