Aproximação WKB

A aproximação de Wentzel-Kramers-Brillouin (WKB) é um método poderoso usado na mecânica quântica para resolver a equação de Schrödinger para uma única partícula. Esta aproximação é particularmente útil para entender sistemas onde o potencial muda lentamente, como no tunelamento quântico e na análise semi-clássica de sistemas quânticos.

Conceito básico

Vamos começar com a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão:

        -ħ²/2m * (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
    

Aqui, ħ é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, ψ(x) é a função de onda, V(x) é a energia potencial, e E é a energia total da partícula.

A aproximação WKB aplica-se quando o potencial V(x) muda lentamente no espaço. A ideia básica é expressar a função de onda ψ(x) como uma função exponencial cujo expoente é uma integral de um parâmetro relacionado ao movimento clássico da partícula.

Etimologia

Assume-se que a forma da função de onda seja a seguinte:

        ψ(x) = A(x) exp(i S(x) / ħ)
    

onde A(x) é a amplitude e S(x) é a ação. Substituindo esta forma na equação de Schrodinger e aplicando a aproximação WKB, encontramos a seguinte expressão para S(x):

        dS(x)/dx = ±√(2m(E - V(x)))
    

Esta equação nos diz que S(x) está relacionado ao movimento clássico. Integrando temos:

        S(x) = ∫ ±√(2m(E - V(x))) dx
    

Regiões e marcos

Para usar a aproximação WKB, é importante considerar o comportamento da função de onda em diferentes regiões do potencial:

• Região classicamente permitida (E > V(x)): Nesta região, a partícula pode existir. A função de onda tem a forma:

                  ψ(x) = A(x) exp(±i ∫ √(2m(E - V(x))) dx / ħ)
              

• Região classicamente proibida (E < V(x)): a presença da partícula é apenas suportada pela mecânica quântica (como o tunelamento). A função de onda é:

                  ψ(x) = B(x) exp(± ∫ √(2m(V(x) - E)) dx / ħ)
              

Ponto de inversão

Um ponto de inflexão ocorre quando E = V(x). Nos pontos de inflexão, a aproximação WKB falha porque o parâmetro dentro da integral vai a zero. Precisamos combinar cuidadosamente as soluções em ambos os lados. Considere possibilidades como um oscilador harmônico simples ou um poço quântico, onde o conceito de pontos de inflexão é relevante.

No diagrama acima, você vê uma curva potencial e uma linha horizontal representando a energia E. Os pontos onde a curva cruza esta linha são os pontos de inflexão.

Fórmula de conexão

As fórmulas de conexão expressam o comportamento da função de onda perto do ponto de inversão. Elas garantem que as soluções nas regiões classicamente permitidas e proibidas sejam conectadas suavemente. Isso é importante ao calcular fenômenos como a probabilidade de tunelamento. Normalmente, usamos funções de Airy para lidar com soluções perto do ponto de inversão.

Exemplo: Oscilador harmônico

Por exemplo, considere o oscilador harmônico quântico. Seu potencial é:

        V(x) = 1/2 m ω² x²
    

Convencionalmente, os pontos de inversão estão localizados onde a energia potencial é igual à energia total:

        E = 1/2 m ω² x²
    

Usando WKB, estimamos diferentes campos e os combinamos de acordo com as regras da mecânica quântica.

Exemplo: Barreira de potencial retangular

Outra aplicação importante da aproximação WKB é entender o tunelamento quântico, como visto em uma barreira de potencial retangular:

        V(x) = { 0 se x < 0, V₀ se 0 ≤ x ≤ a, 0 se x > a }
    

Para uma partícula se movendo em direção a uma barreira com energia E tal que E < V₀, a física clássica prevê nenhum caminho, mas a mecânica quântica permite tunelamento. É importante aqui entender o decaimento exponencial da função de onda dentro da barreira.

Aplicações e limitações

A aproximação WKB é amplamente utilizada na mecânica quântica, pois fornece uma abordagem semi-clássica e simplifica problemas complexos. Também é usada no estudo de fenômenos de ondas gravitacionais na física atômica, química quântica e até mesmo na astrofísica.

No entanto, a aproximação tem suas limitações. Ela falha perto dos pontos de inversão e não pode levar em conta mudanças abruptas no potencial. Em casos de fortes efeitos quânticos, como aqueles envolvendo energias muito baixas ou potenciais com características acentuadas, métodos mais precisos são preferíveis.

Conclusão

A aproximação WKB é uma ferramenta versátil em um conjunto de ferramentas avançadas de mecânica quântica, fazendo a ponte entre a mecânica clássica e a natureza ondulatória da mecânica quântica. Embora simplifique o entendimento dos sistemas quânticos em probabilidades que mudam lentamente, é preciso ter cuidado em torno dos pontos de inflexão e considerar as limitações inerentes a qualquer aproximação.

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