Приближение ВКБ

Приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна (ВКБ) - это мощный метод, используемый в квантовой механике для решения уравнения Шредингера для одной частицы. Это приближение особенно полезно для понимания систем, где потенциальная энергия меняется медленно, таких как квантовое туннелирование и семиклассический анализ квантовых систем.

Основная концепция

Начнем с уравнения Шредингера, независимого от времени, в одном измерении:

        -ħ²/2m * (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
    

Здесь ħ - приведенная постоянная Планка, m - масса частицы, ψ(x) - волновая функция, V(x) - потенциальная энергия, а E - общая энергия частицы.

Приближение ВКБ применимо, когда потенциал V(x) медленно меняется в пространстве. Основная идея состоит в выражении волновой функции ψ(x) как экспоненциальной функции, показатель которой является интегралом параметра, связанного с классическим движением частицы.

Этимология

Форма волновой функции предполагается следующей:

        ψ(x) = A(x) exp(i S(x) / ħ)
    

где A(x) - амплитуда и S(x) - действие. Подставляя эту форму в уравнение Шредингера и применяя приближение ВКБ, мы находим следующее выражение для S(x) :

        dS(x)/dx = ±√(2m(E - V(x)))
    

Это уравнение говорит нам, что S(x) связано с классическим движением. Интегрирование дает:

        S(x) = ∫ ±√(2m(E - V(x))) dx
    

Области и милан

Для использования приближения ВКБ важно учитывать поведение волновой функции в различных областях потенциала:

• Классически допустимая область (E > V(x)): В этой области частица может существовать. Волновая функция имеет форму:

                  ψ(x) = A(x) exp(±i ∫ √(2m(E - V(x))) dx / ħ)
              

• Классически запрещенная область (E < V(x)): нахождение частицы поддерживается только квантовой механикой (например, туннелирование). Волновая функция:

                  ψ(x) = B(x) exp(± ∫ √(2m(V(x) - E)) dx / ħ)
              

Точка поворота

Точка перегиба возникает, когда E = V(x). В точках перегиба приближение ВКБ перестает быть применимым, поскольку параметр внутри интеграла становится равным нулю. Необходимо тщательно согласовывать решения по обе стороны. Рассмотрите такие возможности, как простой гармонический осциллятор или квантовый колодец, где концепция точек перегиба имеет значение.

На приведенной выше диаграмме вы видите потенциал и горизонтальную линию, представляющую энергию E. Точки, где кривая пересекается с этой линией, являются точками перегиба.

Формула соединения

Формулы соединения описывают поведение волновой функции вблизи точки поворота. Они обеспечивают плавное соединение решений в классически допустимой и запрещенной областях. Это важно при расчете явлений, таких как вероятность туннелирования. Обычно мы используем функции Эрмитта для решения проблем вблизи точки поворота.

Пример: Гармонический осциллятор

Например, рассмотрим квантовый гармонический осциллятор. Его потенциал:

        V(x) = 1/2 m ω² x²
    

Обычно, точки поворота располагаются там, где потенциальная энергия равна полной энергии:

        E = 1/2 m ω² x²
    

Используя ВКБ, мы оцениваем разные области и соглашаем их в соответствии с правилами квантовой механики.

Пример: Прямоугольный потенциальный барьер

Еще одно важное применение приближения ВКБ - это понимание квантового туннелирования, как видно на примере прямоугольного потенциального барьера:

        V(x) = { 0 если x < 0, V₀ если 0 ≤ x ≤ a, 0 если x > a }
    

Для частицы, движущейся к барьеру с энергией E так, что E < V₀, классическая физика предсказывает отсутствие пути, но квантовая механика позволяет туннелирование. Здесь важно понять экспоненциальное затухание волновой функции внутри барьера.

Применения и ограничения

Приближение ВКБ широко используется в квантовой механике, так как оно предоставляет полуклассический подход и упрощает сложные задачи. Оно также используется в изучении явлений гравитационных волн в атомной физике, квантовой химии и даже астрофизике.

Однако приближение имеет свои ограничения. Оно не работает вблизи точек поворота и не учитывает резкие изменения потенциала. В случае сильных квантовых эффектов, таких как те, что связаны с очень низкими энергиями или потенциалами с резкими особенностями, предпочтительны более точные методы.

Заключение

Приближение ВКБ является универсальным инструментом в арсенале передовой квантовой механики, связывающим классическую механику с волновой природой квантовой механики. Хотя оно упрощает понимание квантовых систем в медленно изменяющихся вероятностях, необходимо соблюдать осторожность вокруг точек перегиба и учитывать ограничения, присущие любому приближению.

Комментарии