WKB近似

温泽尔-克莱默斯-布里渊（WKB）近似是一种在量子力学中用于解决单粒子薛定谔方程的强大方法。这种近似在理解如量子隧穿和量子系统的半经典分析等情况下非常有用，其中势能缓慢变化。

基本概念

让我们从一维的时间不依赖薛定谔方程开始：

        -ħ²/2m * (d²ψ/dx²) + V(x)ψ(x) = Eψ(x)
    

这里，ħ是约化普朗克常数，m是粒子的质量，ψ(x)是波函数，V(x)是势能，E是粒子的总能量。

当势能V(x)在空间中缓慢变化时，WKB近似适用。基本思想是将波函数ψ(x)表示为一个指数函数，其指数是与粒子经典运动相关的参数的积分。

词源

波函数的形式假设为如下：

        ψ(x) = A(x) exp(i S(x) / ħ)
    

其中A(x)是振幅，S(x)是作用量。将这种形式代入薛定谔方程并应用WKB近似，我们发现S(x)的表达式如下：

        dS(x)/dx = ±√(2m(E - V(x)))
    

这个方程告诉我们S(x)与经典运动有关。积分得到：

        S(x) = ∫ ±√(2m(E - V(x))) dx
    

区域与米兰

使用WKB近似时，重要的是考虑波函数在势能的不同区域中的行为：

• 经典可接受区域（E > V(x)）：在此区域，粒子可以存在。波函数的形式为：

                  ψ(x) = A(x) exp(±i ∫ √(2m(E - V(x))) dx / ħ)
              

• 经典禁止区域（E < V(x)）：粒子的存在仅由量子力学支持（如隧穿）。波函数为：

                  ψ(x) = B(x) exp(± ∫ √(2m(V(x) - E)) dx / ħ)
              

转折点

拐点发生在E = V(x)时。在拐点处，WKB近似失效，因为积分中的参数会变为零。我们需要在两侧仔细匹配解。考虑简单谐振子或量子阱等可能性，其中拐点概念是相关的。

在上图中，您会看到一个势能曲线和一条水平线，代表能量E。曲线与这条线相交的点是拐点。

连接公式

连接公式表述了转折点附近波函数的行为。它们确保了经典允许区域和禁止区域的解的平滑连接。这在计算如隧穿概率等现象时很重要。通常，我们使用埃里函数来处理转折点附近的解。

示例：谐振子

例如，考虑量子谐振子。其势能为：

        V(x) = 1/2 m ω² x²
    

通常，转折点位于势能等于总能量的地方：

        E = 1/2 m ω² x²
    

使用WKB，我们根据量子力学的规则估算不同的区域并进行匹配。

示例：矩形势垒

WKB近似的另一个重要应用是理解如矩形势垒中量子隧穿：

        V(x) = { 0 if x < 0, V₀ if 0 ≤ x ≤ a, 0 if x > a }
    

对于能量E小于V₀的粒子朝势垒移动，经典物理预言无路径，但量子力学允许隧穿。在这里，理解势垒内部波函数的指数衰减是重要的。

应用和限制

WKB近似广泛用于量子力学中，因为它提供了一种半经典方法并简化了复杂问题的处理。它也用在原子物理、量子化学甚至是天体物理中关于引力波现象的研究中。

然而，这种近似有其局限性。在拐点处失效，不能考虑势能的突然变化。在涉及很强量子效应（如极低能量或势能带有尖锐特征）情况下，更精确的方法是可取的。

结论

WKB近似是一个通用工具，在高级量子力学工具包中，起着将经典力学与量子力学的波动性之间的桥梁作用。尽管它简化了缓慢变化概率中的量子系统的理解，但在拐点附近必须谨慎，并且考虑任何近似固有的限制。

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