Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Formulación de integral de camino


La formulación de integral de camino es un concepto fundamental en la mecánica de ondas avanzada y mecánica cuántica, que ofrece una nueva perspectiva sobre el comportamiento de las partículas a nivel cuántico. Propuesta originalmente por el físico Richard Feynman, la formulación de integral de camino reformula la mecánica cuántica de manera que conecta bellamente conceptos de acción y mecánica clásica con el comportamiento cuántico. En esencia, la formulación de integral de camino nos permite calcular la probabilidad de que una partícula viaje de un punto a otro considerando no solo un "camino" clásico único, sino todo el espectro de caminos posibles.

Conceptos básicos

Para comenzar a entender la formulación de integral de camino, es útil volver a visitar el principio de mínima acción en mecánica clásica. En mecánica clásica, el camino tomado por una partícula entre dos puntos es aquel para el cual la acción es mínima. La acción, usualmente denotada como S, es una integral del lagrangiano L del sistema en el tiempo.

S = ∫ L dt

Aquí, el lagrangiano L se define como la diferencia entre la energía cinética y potencial. Dadas las condiciones iniciales y finales, la mecánica clásica elegirá el camino que minimiza esta acción S

Perspectiva de la mecánica cuántica

Sin embargo, la mecánica cuántica permite que las partículas se comporten de maneras no permitidas por la dinámica clásica. Aquí es donde entra en juego la brillante idea de Feynman. En lugar de una trayectoria única, Feynman sugirió que consideremos todos los caminos posibles que la partícula podría tomar al pasar del punto A al punto B. A cada uno de estos caminos se le asigna un número complejo, conocido como "fase", que se deriva de la acción del camino.

Expresión de integral de camino

La probabilidad (o amplitud) de que una partícula viaje del punto A al punto B se calcula sumando estos números complejos. Esta integral sobre todos los caminos posibles se conoce como integral de camino. Matemáticamente, lo expresamos como:

Z = ∫ e^(iS/ħ) D[x(t)]

Aquí, ħ es la constante de Planck reducida, y D[x(t)] simboliza la integración sobre todos los caminos posibles x(t). Note la presencia del exponente complejo, e^(iS/ħ), que le da a cada camino un factor de fase determinado por la acción S

Ejemplo analítico

Considere una partícula libre que se mueve desde la posición x_i en el tiempo t_i hasta x_f en el tiempo t_f en una dimensión. Clásicamente, se movería en línea recta. Sin embargo, en mecánica cuántica, cada camino que conecta estos dos puntos contribuye a la amplitud de probabilidad. Esto significa que no solo los caminos en línea recta, sino también los caminos curvos, zigzagueantes y en bucle son concebibles.

Calcular la integral de camino exacta es complicado, pero al descomponerlo en ejemplos más simples o aproximaciones (utilizando técnicas como la teoría de interferencia o la discretización en red), se pueden derivar predicciones físicas significativas.

Visualización a lo largo de caminos

Para visualizar esto, considere una partícula moviéndose a través de un paisaje marcado por una serie de picos y valles:

Camino A - Zigzag Camino B - Recto

En este esquema, el enfoque de integral de camino considera no solo el camino de línea recta azul B, sino también el camino zigzagueante rojo A y otros caminos similares. Cada camino contribuye con un valor determinado por la acción calculada en ese camino.

Patrón de interferencia

Una idea importante de la formulación de integral de camino es cómo conduce naturalmente al concepto de interferencia y al principio cuántico de superposición. Debido a que cada camino contribuye con una amplitud compleja, cuando sumamos sobre todos los caminos posibles, sumamos todas estas contribuciones. Debido a la naturaleza oscilatoria del factor exponencial e^(iS/ħ), los caminos pueden interferir constructiva o destructivamente.

interferencia constructiva

En la interferencia constructiva, dos caminos que difieren muy poco en acción tendrán sus amplitudes aumentadas, reforzándose mutuamente. Esto explica por qué algunos caminos son más probables que otros - es similar a cómo las ondas pueden interferir.

Importancia y aplicaciones

La formulación de integral de camino proporciona ideas profundas y enfoques computacionales importantes en teorías cuánticas de campos y mecánica estadística. Está naturalmente adaptada a teorías de gauge y ha influido en campos más allá de la mecánica cuántica, llegando incluso a la teoría de fisión.

En teoría cuántica de campos

En el campo de la teoría cuántica de campos, el enfoque de integral de camino proporciona un marco versátil necesario para la construcción de la física moderna de partículas. Facilita la definición de amplitudes de transición entre estados y el cálculo de diagramas de Feynman, que respaldan cálculos teóricos que coinciden con descubrimientos experimentales en instalaciones de física de altas energías como el CERN.

Mecánica estadística

La formulación de integral de camino proporciona una analogía cercana a la mecánica estadística, donde las integrales de camino pueden usarse para calcular funciones de partición en grupos estadísticos tratando el tiempo como una cantidad imaginaria, permitiendo así una mejor comprensión de los sistemas a temperatura finita.

Conclusión

La formulación de integral de camino reimagina cómo entendemos las trayectorias de partículas dentro de la mecánica cuántica, permitiendo un tapiz mucho más rico de posibilidades que la mecánica clásica. A través de su aplicación, obtenemos importantes conocimientos sobre el reino cuántico, particularmente a través del principio de superposición e interferencia. Además, abre nuevas rutas para comprender los procesos fundamentales que gobiernan el universo, proporcionando un conjunto de herramientas para descubrir nuevas físicas más allá del paradigma estándar.


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