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क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर और संगत अवस्थाएँ
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर क्वांटम यांत्रिकी में सबसे महत्वपूर्ण मॉडल प्रणालियों में से एक है। यह एक ऐसा मॉडल है जो एक कण का वर्णन करता है जो संतुलन की स्थिति से उसके विस्थापन के अनुपात में पुनर्स्थापन बल के अधीन होता है। यह एक आदर्शीकृत प्रणाली है जिसमें कण आगे और पीछे दोलन करता है, जैसे एक स्प्रिंग पर वजन या पेंडुलम। क्वांटम क्षेत्र में, यह उन्नत तरंग यांत्रिकी में क्षेत्रों और कणों सहित अधिक जटिल प्रणालियों को समझने का आधार बनता है।
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की मूल बातें
क्लासिकल हार्मोनिक ऑसिलेटर को निम्नलिखित दूसरी-क्रमीय अवकल समीकरण द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है:
m * d²x/dt² = -k * xजहां m कण का द्रव्यमान है, k स्प्रिंग स्थिरांक है, और x संतुलन से विस्थापन है।
क्वांटम यांत्रिक विवरण
क्वांटम यांत्रिक विवरण प्राप्त करने के लिए, हम स्क्रेडिंगर समीकरण का उपयोग करते हैं। हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन दिया गया है:
H = p²/(2m) + (1/2) * m * ω² * x²जहां p संवेग कारक है, ω कोणीय आवृत्ति है, और x स्थिति कारक है।
क्वांटम यांत्रिकी में, हम समय-अनंत स्क्रेडिंगर समीकरण को हल करते हैं:
Hψ = Eψजहां ψ तरंग फलन है और E ऊर्जा रविनिम्नपद है।
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के ऊर्जा स्तर
हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए स्क्रेडिंगर समीकरण को हल करते हुए, हम पाते हैं कि ऊर्जा संविदित होती है और इसे निम्नलिखित रूप में दिया गया है:
E_n = (n + 1/2)ħωजहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (क्वांटम संख्या) है, ħ घटीत प्लांक स्थिरांक है, और ω कोणीय आवृत्ति है। इन ऊर्जा स्तरों में, हम शून्य-बिंदु ऊर्जा, (1/2)ħω, की उपस्थिति देखते हैं, जिसका अर्थ है कि ऑसिलेटर के पास हमेशा कुछ न्यूनतम ऊर्जा होती है, भले ही वह ग्राउंड अवस्था (n=0) में हो।
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के तरंग फलन
हार्मोनिक ऑसिलेटरों के तरंग फलनों या स्थिति फलनों को हर्माइट बहुपदों द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिन्हें एक गौस्सियन कारक से गुणा किया गया है। इन्हें इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
ψ_n(x) = N_n * H_n(ξ) * exp(-ξ²/2)जहां H_n(ξ) हर्माइट बहुपद हैं, ξ = (mω/ħ)¹⁄² * x, और N_n एक मानकीकरण कारक है। हर्माइट बहुपदों H_n(x) को क्वांटम संख्या n द्वारा आबद्ध किया जा सकता है।
सामान्यीकरण और लंबमानता
तरंग फलनें एक-दूसरे के लंब हैं और उन्हें निम्नलिखित रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:
∫ψ*_n(x)ψ_m(x) dx = δ_nmजहां δ_nm क्रोनॉकर डेल्टा है (1 अगर n=m, अन्यथा 0)।
हर्माइट बहुपदों का उदाहरण
पहले कुछ हर्माइट बहुपद हैं:
H_0(x) = 1
H_1(x) = 2x
H_2(x) = 4x² - 2
H_3(x) = 8x³ - 12xसंगत स्थिति
संगत अवस्थाएँ हार्मोनिक ऑसिलेटर की एक विशिष्ट प्रकार की क्वांटम अवस्था हैं। वे विशेष रूप से रोचक होती हैं क्योंकि वे ऊर्जा रविनिम्नपदों की तुलना में शास्त्रीय अवस्थाओं से अधिक मेल खाती हैं।
संगत अवस्थाओं की परिभाषा
संगत अवस्थाएँ विनाश कारक a की स्वयंकृति अवस्था के रूप में परिभाषित की जाती हैं:
a |α⟩ = α |α⟩जहां α एक योज्य संख्या है और |α⟩ एक संगत अवस्था है। विनाश कारक a स्थिति और संवेग कारकों के साथ इस प्रकार संबंधित है:
a = (mω/2ħ)¹⁄²(x + (i/ω)p)संगत अवस्थाओं की विशेषताएँ
संगत अवस्थाओं की कई महत्वपूर्ण विशेषताएँ होती हैं:
- सामान्यीकरण: संगत अवस्थाएँ इस प्रकार सामान्यीकृत होती हैं कि ⟨α|α⟩ = 1।
- न्यूनतम अनिश्चितता: यह न्यूनतम अनिश्चितता संबंध को संतुष्ट करती हैं, उन्हें शास्त्रीय अवस्थाओं के जितना संभव हो उतना निकट बनाती हैं।
- ओवरलैप और संपूर्णता: दो संगत अवस्थाओं के बीच के ओवरलैप को इस प्रकार दिया जाता है: ⟨β|α⟩ = exp(−|β|²/2) exp(−|α|²/2) exp(β*α)।
समिश्र तल में वृत्तों का उपयोग करके दृश्यांकन
समिश्र तल में, एक संगत अवस्था को एक बिंदु (α) के रूप में देखा जा सकता है, जहां वास्तविक और कल्पित भाग दोलनीय गति के विभिन्न पहलुओं को दर्शाते हैं।
संगत अवस्थाओं का समय विकास
संगत अवस्थाओं का एक और आकर्षक गुण उनका समय विकास है। हार्मोनिक ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा निर्धारित विकास के तहत:
H = ħω(a†a + 1/2)संगत अवस्था |α⟩ निम्नलिखित रूप में विकसित होती है:
|α(t)⟩ = |α e^(iωt)⟩इसका अर्थ है कि अवस्था समिश्र तल में घूमती है, लेकिन इसका आकार और आकार अपरिवर्तित रहता है, समय विकास के खिलाफ संगत अवस्थाओं की स्थिरता को इंगित करता है।
भौतिक अनुप्रयोग और महत्व
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर और संगत अवस्थाओं के कई अनुप्रयोग भौतिकी में हैं:
- क्वांटम प्रकाशिकी: संगत अवस्थाएँ लेजर प्रकाश को मॉडल करती हैं, जो शास्त्रीय विद्युतचुंबकीय तरंगों के समान गुण प्रदर्शित करती हैं।
- क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मौलिक कणों और क्षेत्रों के लिए हार्मोनिक ऑसिलेटरों के विचारों का उपयोग किया जाता है।
- आणविक भौतिकी: अणुओं के दोलनीय मोड को क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटरों का उपयोग करके विश्लेषित किया जाता है।
उदाहरण - साधारण पेंडुलम मॉडल
कल्पना करें कि एक पेंडुलम आगे और पीछे झूल रहा है। जब इसका आयाम छोटा होता है, तो उसके व्यवहार को हार्मोनिक ऑसिलेटर द्वारा उपयुक्त किया जा सकता है। ऊर्जा स्तर क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर समाधान के अनुसार सविनियमनित होंगे। प्रत्येक सविनियमनित अवस्था को एक विशिष्ट ऊर्जा के साथ एक अलग दोलन या गति प्रकार के रूप में देखा जा सकता है।
निष्कर्ष
क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर और संगत अवस्थाएँ क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करती हैं और क्वांटम और शास्त्रीय भौतिकी के बीच की खाई को पाटती हैं। इन अवधारणाओं को समझना क्वांटम यांत्रिकी में उन्नत अध्ययन के लिए आवश्यक है, जिससे वे सैद्धांतिक भौतिकी और उससे आगे के लिए महत्वपूर्ण हैं।
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