量子調和振動子とコヒーレント状態

量子調和振動子は量子力学において最も重要なモデルシステムの1つです。これは、平衡位置からの変位に比例する復元力を受ける粒子を記述するモデルです。粒子が前後に振動する理想化されたシステムであり、バネや振り子の重りによく似ています。量子の領域では、複雑なシステムを理解するための基礎として機能し、高度な波動力学における場や粒子を含みます。

量子調和振動子の基本

古典的な調和振動子は次の2次微分方程式で表されます:

m * d²x/dt² = -k * x

ここで、mは粒子の質量、kはバネ定数、xは平衡からの変位です。

量子力学的記述

量子力学的記述を得るために、シュレディンガー方程式を使用します。調和振動子のハミルトニアンは次のように与えられます:

H = p²/(2m) + (1/2) * m * ω² * x²

ここで、pは運動量演算子、ωは角周波数、xは位置演算子です。

量子力学では、時間に依存しないシュレディンガー方程式を解きます:

Hψ = Eψ

ここで、ψは波動関数、Eはエネルギー固有値です。

量子調和振動子のエネルギー準位

調和振動子のシュレディンガー方程式を解くと、エネルギーが量子化され、以下のように与えられます:

E_n = (n + 1/2)ħω

ここで、nは非負整数（量子数）、ħは縮小プランク定数、ωは角周波数です。これらのエネルギー準位には零点エネルギー(1/2)ħωが存在し、振動子が基底状態(n=0)でも常にある最小のエネルギーを持つことを意味します。

量子調和振動子の波動関数

調和振動子の波動関数または状態関数は、ガウス因子と乗算されたエルミート多項式です。それらは次のように表現されます:

ψ_n(x) = N_n * H_n(ξ) * exp(-ξ²/2)

ここで、H_n(ξ)はエルミート多項式、ξ = (mω/ħ)¹⁄² * x、N_nは標準化因子です。エルミート多項式H_n(x)は量子数nで添字を付けることができます。

一般化と直交性

波動関数は互いに直交しており、次のように一般化できます:

∫ψ*_n(x)ψ_m(x) dx = δ_nm

ここで、δ_nmはクロネッカーのデルタ（n=mの場合1、それ以外の場合0）です。

H_0(x) = 1
H_1(x) = 2x
H_2(x) = 4x² - 2
H_3(x) = 8x³ - 12x

コヒーレント状態

コヒーレント状態はハーモニックオシレーターの特殊なタイプの量子状態です。エネルギー固有状態よりも古典状態により近づいているため、特に興味深いです。

コヒーレント状態の定義

コヒーレント状態はアニヒレーション演算子aの固有状態として定義されます:

a |α⟩ = α |α⟩

ここでαは複素数であり、|α⟩はコヒーレント状態です。アニヒレーション演算子aは次のように位置および運動量演算子に関連しています:

a = (mω/2ħ)¹⁄²(x + (i/ω)p)

コヒーレント状態の特性

コヒーレント状態にはいくつかの重要な特性があります:

1. 正規化: コヒーレント状態は⟨α|α⟩ = 1で正規化されています。
2. 最小不確定性: 最小不確定関係を満たし、可能な限り古典的な状態に近づけます。
3. 重なりと完全性: 2つの一致状態間の重なりは次のように与えられます: ⟨β|α⟩ = exp(−|β|²/2) exp(−|α|²/2) exp(β*α).

コヒーレント状態の時間発展

コヒーレント状態のもう1つの興味深い特性は、その時間発展です。調和振動子のハミルトニアンによって決定される進化下では:

H = ħω(a†a + 1/2)

コヒーレント状態|α⟩は次のように進化します:

|α(t)⟩ = |α e^(iωt)⟩

これは、状態が複素平面で回転することを意味しますが、その形状とサイズは変わらないままです。これにより、コヒーレント状態の時間発展に対する安定性が示されます。

物理的応用と重要性

量子調和振動子とコヒーレント状態は物理学に多くの応用があります:

1. 量子光学: コヒーレント状態はレーザー光をモデル化します。レーザー光は古典的な電磁波に似た特性を示します。
2. 量子場理論: 量子場理論の基本粒子と場は調和振動子の概念を使用します。
3. 分子物理学: 分子の振動モードは量子調和振動子を用いて分析されます。

結論

量子調和振動子とコヒーレント状態は、量子力学の重要な洞察を提供し、量子と古典物理学の間の橋渡しを行います。これらの概念を理解することは、理論物理学およびそれを超えた高度な量子力学の研究にとって不可欠です。

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