Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Mecánica de ondas avanzada


La mecánica de ondas avanzada es una parte de la mecánica cuántica que profundiza en la comprensión de las propiedades ondulatorias de las partículas. A diferencia de la mecánica clásica, donde se utilizan principios newtonianos, la mecánica cuántica se basa en la naturaleza de onda y partícula de la materia. Esta dualidad es esencial para comprender los sistemas cuánticos. Este documento intenta proporcionar una explicación completa pero comprensible de la mecánica de ondas avanzada para personas inmersas en estudios de física de pregrado.

El concepto de dualidad onda-partícula

En la física clásica, las partículas y las ondas son entidades distintas. Sin embargo, la mecánica cuántica muestra que las partículas como los electrones exhiben características tanto de onda como de partícula. Esta dualidad es fundamental para comprender los sistemas cuánticos. Por ejemplo, consideremos un electrón. En algunos experimentos, se comporta como una partícula; en otros, exhibe propiedades similares a las de una onda, como la interferencia y la difracción.

Visualiza la naturaleza ondulatoria de una particula con el siguiente modelo:

Aquí, los círculos de onda superpuestos simbolizan electrones comportándose como ondas, que se cruzan entre sí y forman un patrón de interferencia.

Ecuación de Schrödinger

La función de onda, ψ, es fundamental en mecánica cuántica porque describe el estado cuántico de un sistema. La evolución de esta función de onda en el tiempo está gobernada por la ecuación de Schrödinger. En su forma dependiente del tiempo, se expresa como:

        iℏ&partial;ψ/&partial;t = -(ℏ^2/2m)∇^2ψ + Vψ

Aquí:

  • i es la unidad imaginaria.
  • ℏ es la constante de Planck reducida.
  • ψ es la función de onda.
  • t es el tiempo.
  • m es la masa de la partícula.
  • V es la energía potencial.

Esta ecuación representa la probabilidad de encontrar una partícula en un determinado estado cuántico. Para resolver la ecuación de Schrödinger, generalmente se requieren condiciones de frontera e iniciales.

Explicación de la probabilidad

La función de onda en sí misma no es directamente observable. Su módulo al cuadrado, |ψ|^2, proporciona la función de densidad de probabilidad para la posición de una partícula cuántica. Por ejemplo, si ||ψ(x,t)|^2 es alto en un punto particular, esto indica una alta probabilidad de encontrar la partícula en esa posición en el momento t.

Consideremos un ejemplo:

En esta visualización, la curva azul representa la función de onda, mientras que los picos y los puntos rojos indican áreas con una alta probabilidad de encontrar la partícula.

Estados estacionarios y cuantización de energía

Para muchos sistemas, las soluciones a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo dan estados estacionarios donde los niveles de energía están cuantizados. Esto ocurre en sistemas como electrones en un átomo, donde solo se permiten niveles de energía discretos.

Considera un caso simple: una partícula en una caja unidimensional de longitud L Las condiciones marginales son:

        ψ(0) = ψ(L) = 0

Las soluciones son las siguientes:

        ψn(x) = sqrt(2/L) sin(nπx/L)

Las energías cuantizadas correspondientes son:

        En = (n^2π^2ℏ^2)/(2mL^2)

donde n es un número cuántico (1, 2, 3, ...).

Una representación visual de esta cuantización podría ser así:

Las líneas sólida y discontinua representan dos estados de energía diferentes de la partícula en la caja.

El efecto túnel cuántico

En la mecánica clásica, si una partícula no tiene suficiente energía para cruzar la barrera, simplemente no puede. Sin embargo, la mecánica cuántica introduce el concepto de túnel, donde hay una posibilidad de que la partícula pueda cruzar la barrera de energía.

Por ejemplo, considera una partícula acercándose a una barrera de potencial de altura V0. Incluso si la energía de la partícula E es menor que V0, aún existe una probabilidad finita de encontrar la partícula al otro lado de la barrera.

        ψ(x) = A e^(kx) + B e^(-kx), k^2 = 2m(V0-E)/ℏ^2

Oscilador armónico

El oscilador armónico cuántico es otro sistema importante estudiado en la mecánica de ondas ya que muchos sistemas físicos pueden ser aproximados como osciladores armónicos. Sus funciones de onda se describen mediante polinomios de Hermite, y sus niveles de energía están cuantizados.

La ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico con masa m y frecuencia angular ω es:

        En = ℏω(n + 1/2)

donde n = 0, 1, 2, ...

Las funciones de onda correspondientes se dan como:

        ψn(x) = (1/sqrt(2^nn!))(mω/ℏπ)^(1/4) exp(-mωx^2/(2ℏ)) Hn(sqrt(mω/ℏ) x)

Conclusión

La mecánica de ondas avanzada proporciona profundos conocimientos sobre el comportamiento de los sistemas cuánticos. Comprender conceptos como la dualidad onda-partícula, la ecuación de Schrödinger y el efecto túnel y la cuantización cuánticos sienta las bases para fenómenos cuánticos aún más complejos. Los principios de la mecánica de ondas avanzada continúan siendo indispensables a medida que exploras varios sistemas cuánticos y sus aplicaciones.


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