Pós-graduação
  1. Mecânica clássica  1.1. Cinemática Avançada  1.1.1. Generalized coordinate systems  1.1.2. Equações paramétricas de movimento  1.1.3. Referenciais não inerciais e forças fictícias  1.1.4. Formulação covariante do momento  1.1.5. Variável ação-ângulo  1.2. Mecânica Lagrangiana e Hamiltoniana  1.2.1. Princípio da ação mínima  1.2.2. Equações de Euler-Lagrange  1.2.3. Teorema de Noether e leis de conservação  1.2.4. Velocidade Normalizada  1.2.5. Conversão canônica  1.2.6. Bracket de Poisson e teoria de Hamilton-Jacobi  1.2.7. Caos Hamiltoniano e Integrabilidade  1.3. Mobilidade de corpo rígido  1.3.1. Euler's equations of motion  1.3.2. Momentos principais de inércia  1.3.3. Movimento giroscópico e precessão  1.3.4. Tensor de inércia  1.3.5. Estabilidade da velocidade rotacional  1.4. Dinâmica não linear e caos  1.4.1. Análise de espaço de fase e estabilidade  1.4.2. Seções de Poincaré e teoria de bifurcação  1.4.3. Atractores Estranhos e Fractais  1.4.4. Expoente de Lyapunov  1.4.5. KAM theorem and quasi-periodic motion
  2. Eletromagnetismo  2.1. Eletrodinâmica Avançada  2.1.1. Função de Green e teoria do potencial  2.1.2. Expansão multipolar  2.1.3. Método de carga de imagem  2.1.4. Condições de contorno e teorema de unicidade  2.2. Propagação de ondas eletromagnéticas  2.2.1. Ondas planas em dielétricos e condutores  2.2.2. Waveguides and cavity resonators  2.2.3. Radiation pressure and optical tweezers  2.2.4. Polarização e cálculo de Jones  2.3. Eletrodinâmica relativística  2.3.1. Formulação covariante da eletrodinâmica  2.3.2. Potenciais de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiação de síncrotron e bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo eletromagnético e transformações de Lorentz  2.4. Física de plasma  2.4.1. Magnetohidrodinâmica  2.4.2. Blindagem de Debye e oscilações do plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén e confinamento em tokamak  2.4.4. Instabilidades de plasma e turbulência
  3. Mecânica estatística e termodinâmica  3.1. Termodinâmica Avançada  3.1.1. Transformadas de Legendre e potenciais termodinâmicos  3.1.2. Teorema da Flutuação–Dissipação  3.1.3. Relações interpessoais de Onsager  3.1.4. Critical events and phase transitions  3.2. Mecânica estatística quântica  3.2.1. Teoria de Matriz Densidade e Conjuntos  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transição de fase quântica  3.2.4. Estatísticas de Fermi–Dirac e Bose–Einstein  3.2.5. Funções de partição e ensembles grand canônicos
  4. Mecânica quântica  4.1. Mecânica de ondas avançada  4.1.1. Aproximação WKB  4.1.2. Formulação de integrais de caminho  4.1.3. Oscilador harmônico quântico e estados coerentes  4.2. Momento angular e spin  4.2.1. Spherical Harmonics  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamento spin-órbita  4.3. Teoria do espalhamento quântico  4.3.1. Born approximation  4.3.2. Análise de onda parcial  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. S-matrix theory  4.4. Quantum field theory  4.4.1. Segunda Quantização  4.4.2. Diagramas de Feynman e propagadores  4.4.3. Teoria da Renormalização  4.4.4. Gauge theory and Yang–Mills fields  4.4.5. Quebra espontânea de simetria e o mecanismo de Higgs
  5. Relatividade geral e cosmologia  5.1. Cálculo tensorial e geometria diferencial  5.1.1. Equações de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild e Kerr  5.1.3. Geodésicas e símbolos de Christoffel  5.2. Cosmologia e o Universo  5.2.1. A métrica FLRW e a inflação cósmica  5.2.2. Energia escura e formação de estruturas  5.2.3. Radiação cósmica de fundo em micro-ondas
  6. Física da matéria condensada  6.1. Estrutura de bandas e teoria do transporte  6.1.1. Teorema de Bloch e o modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topologia da superfície de Fermi  6.1.3. Efeito Hall Quântico  6.2. Supercondutividade  6.2.1. Teoria BCS e pares de Cooper  6.2.2. Efeito Meissner e quantização de fluxo  6.2.3. The Josephson Effect and SQUIDs  6.3. Fases topológicas da matéria  6.3.1. Isolantes Topológicos  6.3.2. Fermions de Majorana em fases topológicas da matéria
  7. Física Nuclear e de Partículas  7.1. Cromodinâmica Quântica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks e glúons  7.1.2. Liberdade Assintótica  7.1.3. Confinamento e hadronização  7.2. Além do Modelo Padrão  7.2.1. Teorias de Grande Unificação  7.2.2. Supersimetria e dimensões extras  7.2.3. Oscilações de neutrinos

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Mecânica de ondas avançada


A mecânica de ondas avançada é uma parte da mecânica quântica que se aprofunda na compreensão das propriedades ondulatórias das partículas. Ao contrário da mecânica clássica, onde os princípios newtonianos são usados, a mecânica quântica baseia-se na natureza ondulatória e corpuscular da matéria. Esta dualidade é essencial para compreender os sistemas quânticos. Este documento tenta fornecer uma explicação completa, mas compreensível, da mecânica de ondas avançada para indivíduos imersos em física de graduação.

O conceito de dualidade onda-partícula

Na física clássica, partículas e ondas são entidades distintas. No entanto, a mecânica quântica mostra que partículas como elétrons exibem características tanto de onda como de partícula. Esta dualidade é fundamental para compreender os sistemas quânticos. Por exemplo, considere um elétron. Em alguns experimentos, ele se comporta como uma partícula; em outros, ele exibe propriedades ondulatórias, como interferência e difração.

Visualize a natureza ondulatória de uma partícula com o seguinte modelo:

Aqui, os círculos de onda sobrepostos simbolizam elétrons comportando-se como ondas, que se cruzam e formam um padrão de interferência.

Equação de Schrödinger

A função de onda, ψ, é fundamental na mecânica quântica porque descreve o estado quântico de um sistema. A evolução desta função de onda ao longo do tempo é regida pela equação de Schrödinger. Em sua forma dependente do tempo, é expressa como:

        iℏ&partial;ψ/&partial;t = -(ℏ^2/2m)∇^2ψ + Vψ

Aqui:

  • i é a unidade imaginária.
  • ℏ é a constante de Planck reduzida.
  • ψ é a função de onda.
  • t é o tempo.
  • m é a massa da partícula.
  • V é a energia potencial.

Esta equação representa a probabilidade de encontrar uma partícula em um determinado estado quântico. Para resolver a equação de Schrödinger, geralmente são necessárias condições de contorno e iniciais.

Explicação de probabilidade

A própria função de onda não é diretamente observável. Seu módulo ao quadrado, |ψ|^2, fornece a função de densidade de probabilidade para a posição de uma partícula quântica. Por exemplo, se ||ψ(x,t)|^2 é alta em um ponto particular, isso indica uma alta probabilidade de encontrar a partícula nessa posição no tempo t.

Vamos considerar um exemplo:

Nesta visualização, a curva azul representa a função de onda, enquanto os picos e pontos vermelhos indicam áreas com alta probabilidade de encontrar a partícula.

Estados estacionários e quantização de energia

Para muitos sistemas, as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo dão estados estacionários onde os níveis de energia são quantizados. Isso ocorre em sistemas como elétrons em um átomo, onde apenas níveis de energia discretos são permitidos.

Considere um caso simples: uma partícula em uma caixa unidimensional de comprimento L. As condições marginais são:

        ψ(0) = ψ(L) = 0

As soluções são as seguintes:

        ψn(x) = sqrt(2/L) sin(nπx/L)

As energias quantizadas correspondentes são:

        En = (n^2π^2ℏ^2)/(2mL^2)

onde n é um número quântico (1, 2, 3, ...).

Uma representação visual desta quantização poderia ser assim:

As linhas sólidas e tracejadas representam dois diferentes estados de energia da partícula na caixa.

Tunelamento quântico

Na mecânica clássica, se uma partícula não tem energia suficiente para cruzar a barreira, simplesmente não pode. No entanto, a mecânica quântica introduz o conceito de tunelamento, onde há a possibilidade de a partícula atravessar a barreira de energia.

Por exemplo, considere uma partícula se aproximando de uma barreira de potencial de altura V0. Mesmo se a energia da partícula E for menor que V0, ainda existe uma probabilidade finita de encontrar a partícula do outro lado da barreira.

        ψ(x) = A e^(kx) + B e^(-kx), k^2 = 2m(V0-E)/ℏ^2

Oscilador harmônico

O oscilador harmônico quântico é outro sistema importante estudado na mecânica de ondas porque muitos sistemas físicos podem ser aproximados como osciladores harmônicos. Suas funções de onda são descritas por polinômios de Hermite, e seus níveis de energia são quantizados.

A equação de Schrödinger para um oscilador harmônico com massa m e frequência angular ω é:

        En = ℏω(n + 1/2)

onde n = 0, 1, 2, ...

As funções de onda correspondentes são dadas como:

        ψn(x) = (1/sqrt(2^nn!))(mω/ℏπ)^(1/4) exp(-mωx^2/(2ℏ)) Hn(sqrt(mω/ℏ) x)

Conclusão

A mecânica de ondas avançada fornece insights profundos sobre o comportamento dos sistemas quânticos. Compreender conceitos como dualidade onda-partícula, a equação de Schrödinger, e tunelamento quântico e quantização estabelece a base para fenômenos quânticos ainda mais complexos. Os princípios da mecânica de ondas avançada continuam a mostrar-se indispensáveis enquanto você explora vários sistemas quânticos e suas aplicações.


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