Posgrado
  1. Mecánica clásica  1.1. Cinemática Avanzada  1.1.1. Sistemas de coordenadas generalizados  1.1.2. Ecuaciones paramétricas del movimiento  1.1.3. Marcos no inerciales y fuerzas ficticias  1.1.4. Formulación covariante del momentum  1.1.5. Variable acción-ángulo  1.2. Mecánica lagrangiana y hamiltoniana  1.2.1. Principio de mínima acción  1.2.2. Ecuaciones de Euler-Lagrange  1.2.3. El teorema de Noether y las leyes de conservación  1.2.4. Velocidad Normalizada  1.2.5. Conversión canónica  1.2.6. El corchete de Poisson y la teoría de Hamilton–Jacobi  1.2.7. Caos hamiltoniano e integrabilidad  1.3. Movilidad de cuerpo rígido  1.3.1. Ecuaciones de movimiento de Euler  1.3.2. Momentos principales de inercia  1.3.3. Movimiento giroscópico y precesión  1.3.4. Tensor de inercia  1.3.5. Estabilidad de la velocidad de rotación  1.4. Dinámica no lineal y caos  1.4.1. Análisis de espacio de fases y estabilidad  1.4.2. Secciones de Poincaré y teoría de bifurcaciones  1.4.3. Atractores Extraños y Fractales  1.4.4. Exponente de Lyapunov  1.4.5. Teorema KAM y movimiento cuasiperiódico
  2. Electromagnetismo  2.1. Electrodinámica Avanzada  2.1.1. Función de Green y teoría del potencial  2.1.2. Expansión multipolar  2.1.3. Método de carga de imagen  2.1.4. Condiciones de contorno y teorema de unicidad  2.2. Propagación de ondas electromagnéticas  2.2.1. Plane waves in dielectrics and conductors  2.2.2. Guías de ondas y resonadores de cavidad  2.2.3. Presión de radiación y pinzas ópticas  2.2.4. Polarización y cálculo de Jones  2.3. Electrodinámica relativista  2.3.1. Formulación covariante de la electrodinámica  2.3.2. Potenciales de Liénard–Wiechert  2.3.3. Radiación sincrotrón y bremsstrahlung  2.3.4. Tensor de campo electromagnético y transformaciones de Lorentz  2.4. Física del plasma  2.4.1. Magnetohidrodinámica  2.4.2. Pantalla de Debye y oscilaciones de plasma  2.4.3. Ondas de Alfvén y confinamiento en tokamak  2.4.4. Inestabilidades y turbulencias de plasma
  3. Mecánica estadística y termodinámica  3.1. Termodinámica Avanzada  3.1.1. Transformadas de Legendre y potenciales termodinámicos  3.1.2. Teorema de fluctuación-disipación  3.1.3. Relaciones interpersonales de Onsager  3.1.4. Eventos críticos y transiciones de fase  3.2. Mecánica estadística cuántica  3.2.1. La matriz densidad y la teoría de ensambles  3.2.2. Condensados de Bose–Einstein  3.2.3. Transición de fase cuántica  3.2.4. Estadísticas de Fermi-Dirac y Bose-Einstein  3.2.5. Funciones de partición y conjuntos canónicos grandes
  4. Quantum mechanics  4.1. Mecánica de ondas avanzada  4.1.1. Aproximación WKB  4.1.2. Formulación de integral de camino  4.1.3. Oscilador armónico cuántico y estados coherentes  4.2. Momento angular y espín  4.2.1. Armónicos Esféricos  4.2.2. Coeficiente de Clebsch–Gordan  4.2.3. Teorema de Wigner–Eckart  4.2.4. Acoplamiento espín-órbita  4.3. Teoría cuántica de dispersión  4.3.1. Aproximación de Born  4.3.2. Análisis de ondas parciales  4.3.3. Teorema Óptico  4.3.4. Teoría de la matriz S  4.4. Teoría cuántica de campos  4.4.1. Segunda Cuantización  4.4.2. Diagramas de Feynman y propagadores  4.4.3. Teoría de la Renormalización  4.4.4. Teoría de gauge y campos de Yang-Mills  4.4.5. Ruptura espontánea de simetría y el mecanismo de Higgs
  5. General relativity and cosmology  5.1. Cálculo tensorial y geometría diferencial  5.1.1. Ecuaciones de campo de Einstein  5.1.2. Métricas de Schwarzschild y Kerr  5.1.3. Geodésicas y símbolos de Christoffel  5.2. Cosmología y el Universo  5.2.1. La métrica FLRW y la inflación cósmica  5.2.2. Energía oscura y formación de estructuras  5.2.3. Radiación cósmica de fondo de microondas
  6. Física de la materia condensada  6.1. Estructura de bandas y teoría de transporte  6.1.1. Teorema de Bloch y el modelo de Kronig–Penney  6.1.2. Topología de la superficie de Fermi  6.1.3. Efecto Hall Cuántico  6.2. Superconductividad  6.2.1. Teoría BCS y pares de Cooper  6.2.2. Efecto Meissner y cuantización del flujo  6.2.3. El Efecto Josephson y los SQUIDs  6.3. Fases topológicas de la materia  6.3.1. Aislantes Topológicos  6.3.2. Fermiones de Majorana en fases topológicas de la materia
  7. Física Nuclear y de Partículas  7.1. Cromodinámica Cuántica (QCD)  7.1.1. Plasma de quarks y gluones  7.1.2. Libertad asintótica  7.1.3. Confinamiento y hadronización  7.2. Más allá del Modelo Estándar  7.2.1. Teorías de la Gran Unificación  7.2.2. Supersimetría y dimensiones extra  7.2.3. Oscilaciones de neutrinos

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Coeficiente de Clebsch–Gordan


En mecánica cuántica, el momento angular juega un papel importante, especialmente en el estudio de partículas atómicas y subatómicas. Uno de los aspectos esenciales para entender el momento angular es la suma de momentos angulares, lo que a menudo nos lleva a los coeficientes de Clebsch-Gordan. Nombrados en honor a los físicos Alfred Clebsch y Paul Gordon, estos coeficientes son importantes al combinar momentos angulares en sistemas cuánticos, como al considerar el espín de dos partículas. Esta explicación explorará el concepto, proporcionará ejemplos visuales y explicará el cálculo y la importancia de estos coeficientes.

Entendiendo el momento angular en la mecánica cuántica

Para entender el coeficiente de Clebsch-Gordan, primero necesitamos una sólida comprensión del momento angular en la mecánica cuántica. El momento angular en la mecánica cuántica está cuantizado, lo que significa que solo puede tomar ciertos valores discretos. Se describe mediante dos números cuánticos: la magnitud del momento angular, dada por j, y su proyección a lo largo de un eje elegido, generalmente el eje z, dado por m.

El número cuántico j puede tomar valores como 0, 1/2, 1, 3/2, etc., mientras que m puede variar desde -j hasta +j en pasos enteros. Así, para una partícula con momento angular j = 1, los posibles valores de m serán -1, 0 y 1.

Sumando el momento angular

Cuando tratamos con sistemas de muchas partículas, cada una de las cuales tiene su propio momento angular, a menudo necesitamos calcular el momento angular total. Esta situación surge en muchas áreas de la mecánica cuántica, como al combinar los espines intrínsecos de partículas o al interactuar con el momento angular orbital en sistemas atómicos.

Para sumar momentos angulares, usamos la regla de que si tienes dos momentos angulares, j_1 y j_2, su momento angular combinado, J, puede tomar valores entre |j_1 - j_2| y j_1 + j_2, en pasos enteros. El número cuántico de proyección M del sistema combinado es simplemente la suma de las proyecciones: M = m_1 + m_2, donde m_1 y m_2 son los números cuánticos de proyección de los momentos angulares individuales.

Por ejemplo, si combinas dos partículas con espín j = 1/2, los posibles valores del momento angular total J serán 1 y 0.

Introducción al coeficiente de Clebsch-Gordan

Los coeficientes de Clebsch-Gordan son útiles cuando quieres expresar los estados de momento angular combinados en términos de los estados de momento angular individuales. Específicamente, proporcionan los pesos necesarios para expresar un estado particular de momento angular total como una combinación lineal de los estados producto de los movimientos individuales.

Representación visual

Considera una representación visual de la combinación de dos momentos angulares, donde j_1 = 1 y j_2 = 1/2:

j = 3/2 j = 1/2 j = 1/2

Fórmulas matemáticas

La fórmula general para combinar dos estados de momento angular se expresa usando los coeficientes de Clebsch–Gordan de la siguiente manera:

    |j_1, j_2; j, m⟩ = ∑ |j_1, m_1; j_2, m_2⟩

Aquí, |j_1, j_2; J, M⟩ es el estado de momento angular combinado, y |j_1, m_1; j_2, m_2⟩ son los estados de momento angular individuales. Los coeficientes de Clebsch-Gordan <j_1, j_2; m_1, m_2 | J, M> son factores numéricos que nos indican cómo ponderar los estados producto para producir el estado de momento angular total.

Ejemplos de coeficientes de Clebsch–Gordan

Veamos un ejemplo más explícito. Supongamos que tienes dos partículas, una con j_1 = 1/2 y la otra con j_2 = 1/2. Los posibles valores del momento angular total J son 1 y 0.

Para J = 1, tenemos:

    |1, 1⟩ = |+1/2⟩|+1/2⟩
    |1, 0⟩ = (|+1/2⟩|-1/2⟩ + |-1/2⟩|+1/2⟩) / √2
    |1, -1⟩ = |-1/2⟩|-1/2⟩

Para J = 0, tenemos:

    |0, 0⟩ = (|+1/2⟩|-1/2⟩ - |-1/2⟩|+1/2⟩) / √2

Aquí, el coeficiente de cada término antes de los kets representa el coeficiente de Clebsch–Gordan para ese término en particular. Por ejemplo, la posición |1, 0⟩ es una combinación simétrica de |+1/2⟩|-1/2⟩ y |-1/2⟩|+1/2⟩ con pesos iguales, por lo que el coeficiente de Clebsch–Gordan es 1/√2.

Propiedades del coeficiente de Clebsch–Gordan

  • Los coeficientes de Clebsch–Gordan son números reales, debido a la naturaleza real de los operadores de momento angular.
  • Su magnitud está limitada entre 0 y 1, brindando un sentido de amplitud de probabilidad.
  • Ortogonalidad: Diferentes combinaciones de m_1 y m_2 para el mismo J total son ortogonales.

Ejemplo de ortogonalidad

Para la ortogonalidad, si consideramos dos estados |J, M⟩ y |J', M'⟩ que tienen diferentes momentos totales o proyecciones, entonces su producto interno debe ser cero.

    ⟨J, M|J, M'⟩ = 0 si M ≠ M'

Encontrar el coeficiente de Clebsch-Gordan

Aunque hay tablas y software disponibles para encontrar coeficientes de Clebsch-Gordan fácilmente, calcularlos a mano ayuda a entender su naturaleza en profundidad. Se aplican propiedades recursivas, consideraciones de simetría y condiciones de normalización en su derivación.

Estrategia recursiva

Un método estándar para calcular los coeficientes de Clebsch-Gordan implica el uso de fórmulas iterativas derivadas del álgebra del momento angular. La idea principal es comenzar con situaciones donde los cálculos son simples y luego avanzar hacia situaciones más complicadas.

    √((J + M)(J - M + 1)) * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M – 1⟩ +
    √((j - m)(j + m + 1)) * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M + 1⟩ = 
    m_1 * ⟨j_1, m_1; j_2, m_2|J, M⟩

Aplicaciones en física

En aplicaciones prácticas, los coeficientes de Clebsch–Gordan simplifican la tarea de evaluar elementos de matriz donde los sistemas están acoplados. Por ejemplo, aparecen en cálculos de probabilidades de transición cuando partículas con espín interactúan con radiación electromagnética, como en transiciones de órbita atómica o en experimentos de dispersión de fotones.

Ejemplos en física de partículas

En física de partículas, conocer los coeficientes de Clebsch-Gordan es importante para calcular amplitudes donde partículas, como quarks, interactúan y forman partículas compuestas como protones y neutrones. Las reglas de combinación ayudan a predecir la mezcla de estados de sabor y color según la cromodinámica cuántica.

Considera la hadronización, donde los quarks se combinan para formar hadrones: al aplicar los coeficientes de Clebsch-Gordan, se puede predecir qué combinaciones de espines y colores de quarks son soluciones viables en el escenario de confinamiento.

Conclusión

Los coeficientes de Clebsch-Gordan proporcionan un formalismo matemático esencial para manejar las complejidades de los cuantos que tratan con el momento angular. Como base de los sistemas mecánicos cuánticos que combinan el espín, su papel se extiende desde las construcciones teóricas hasta las predicciones experimentales donde impactan directamente en las mediciones e interpretaciones. Comprender estos coeficientes, su derivación y aplicación proporciona una mejor comprensión no solo de la mecánica cuántica sino también de las teorías físicas más amplias a nivel fundamental.


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